DGL 1.Ordnung mit trennbaren Variablen - Ansatz zur Substitution

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20.11.2015, 07:12	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 1.Ordnung mit trennbaren Variablen - Ansatz zur Substitution Moin , ich hätte noch eine Frage zur folgenden DGL: y' =(x^2/y^2) + (y/x) + 1 Hierzu soll die allgemeine Lösung gefunden werden. Soweit so gut.... Ich habe erkannt, bzw. laut Kapitel ist die DGL eine solche, die durch eine Substitution gelöst werden kann/soll. Ich habe also (y/x) = u gesetzt, nach y aufgelöst und y' berechnet und eingesetzt. Leider erhalte ich dann ein Integral welches aufgeleitet ein u^3 enthält und komme mit der Rücksubstitution nichtmehr klar.... Die Rechnung habe ich auch noch angehängt, da ich in Latex noch nicht so fit bin... Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar grüße Prinoobi
20.11.2015, 07:56	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 1.Ordnung mit trennbaren Variablen - Ansatz zur Substitution Es gilt zuerst zu klären , wie die Aufgabe lautet: $\begin{eqnarray} y' =\frac{x^{2} }{y^2} +\frac{y}{x} +1 <br /> <br /> y' =\frac{y^{2} }{x^2} +\frac{y}{x} +1 \end{eqnarray}$ Wenn es denn die 2. Aufgabe ist(so wie Du gerechnet hast), ist Dir ein Fehler unterlaufen. Es muß richtig stehen: $\begin{eqnarray} \frac{du}{u^{2}+1 } =\frac{dx}{x} \end{eqnarray}$
20.11.2015, 09:08	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss die 2 Variante sein.... ups Ja das ergibt sinn, wenn ich dass dann aufleite erhalte ich: arctan (u) = ln x + C, richtig ? Und dann die Substitution einsetzen, nach y auflösen und fertig... d.h. arctan (y/x) = ln x + C --> y = tan x* (ln x + C) Richtig so ?
20.11.2015, 09:18	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann die Substitution einsetzen, nach y auflösen und fertig... ->ja ,genau Aber das Ergebnis muß lauten: $\begin{eqnarray} y=x tan(ln\|x\|+C) \end{eqnarray*}$ Betragstriche beim ln nicht vergessen.
20.11.2015, 10:05	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ja das ln ist vergessen, hatte ich eigentlich mit drin... ^^ super danke
20.11.2015, 12:39	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage zu einer anderen DGL Die Lösung habe ich soweit, ich hätte nur gerne eine Bestätigung.... $\begin{eqnarray} y'(x) \cdot (1-x)^2 + xy(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (dy/dx) \cdot (1-x)^2 + xy(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dy/y(x) = -x/(1-x^2) dx \end{eqnarray}$ Integrieren $\begin{eqnarray} ln \|y\| = 1/2 ln \|1-x^2\| - C \end{eqnarray}$ Einsatz der E-Funktion $\begin{eqnarray} y = e^{1/2 * ln \|1-x^2\| - C} \end{eqnarray}$ Vereinfachung: $\begin{eqnarray} y = 1/e^{- C} \cdot (1-x^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ Passt das so ?
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20.11.2015, 14:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung des Integrales auf der rechten Seite stimmt nicht . Das kannst Du überprüfen , indem Du differenzierst und Du wirst sehen , da kommt was anderes heraus. Lösungstipp: Partialbruchzerlegung
20.11.2015, 15:11	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ich sehe da muss etwas anderes stehen sollte eigentlich $\begin{eqnarray} y = {(1-x^2)^{1/2}}/{e^C} \end{eqnarray}$ sein ...
20.11.2015, 16:00	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe für das rechte Integral erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-1} -ln\|x-1\| \end{eqnarray}$ Lösung der Aufgabe: $\begin{eqnarray} y= \frac{C e^{\frac{1}{x-1} } }{x-1} \end{eqnarray*}$
20.11.2015, 16:59	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir ist laut Integraltafel dies so: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac {x}{a^2 - x^2}~dx = - \frac{1}{2} \cdot ln \|a^2-x^2\| \end{eqnarray}$ natürlich noch + C daher ist die Rechte seine bei mir: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot ln \|1-x^2\| + C \end{eqnarray}$
20.11.2015, 17:10	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht war die Aufgabenstellung nicht ganz klar: $\begin{eqnarray} \frac {dy}{y} = -\frac {x}{1-x^2} \cdot dx \end{eqnarray}$
20.11.2015, 17:12	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
ja hast Recht der Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln\| 1 -x^{2} \| \end{eqnarray}$ ist auch richtig.
20.11.2015, 17:53	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, und dann muss ich ja die E-Funktion anwenden , das ist schon etwas her: $\begin{eqnarray} e^{ \frac {1}{2} \cdot ln \|1-x^2\|-C} \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} \frac {1}{2} \cdot ln \|1-x^2\|- C= ln\|(1-x^2)^{\frac{1}{2}}\| - C \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} = e^{ln\|(1-x^2)^{\frac {1} {2} }\| - C} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} = (1-x^2)^{\frac {1} {2} } \cdot e^{-C} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} = \frac {(1-x^2)^{\frac {1} {2} }}{ e^{-C}} \end{eqnarray}$ Das müsste dann das Endergebnis sein ...
20.11.2015, 18:15	Prinoobi	Auf diesen Beitrag antworten »
kommt das dann mit der Ableitung hin ? oder kann ich die nur explizit berechnen wenn ich durch Anfangsbedingungen das C ermitteln kann ?

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