Äquivalenzrelation

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20.11.2015, 08:10	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Ich habe die Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} x\sim y \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : y = x + kn \end{eqnarray}$ gegeben, wobei $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ zusätzlich habe ich die Addition gegeben über $\begin{eqnarray} (x + n\mathbb{Z}) + (y +n\mathbb{Z}) = (x + y) + n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt zeiegn, dass die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n = \mathbb{Z}/ \sim \end{eqnarray}$ der Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray} x + n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ eine additive Gruppe ist. Ich weiß, was die Gruppenaxiome sind, habe aber keine Ahnung wo ich in diesem Fall anfangen soll. Vielen Dank im Voraus für eure Antworten
20.11.2015, 11:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das einfachste von allen Axiomen, das Kommutativgesetz, kriegst Du bestimmt hin. Du musst nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} x+n\mathbb Z+y+n\mathbb Z=y+n\mathbb Z+x+n\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Das hilft gar nichts, wenn man beweisen will, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z/\sim \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist. Aber es ist eine gute Übung, und wenn $\begin{eqnarray} \mathbb Z/\sim \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist, so ist es eine kommutative Gruppe.
20.11.2015, 12:41	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kommutativgesetz, geht aus der Definition der Addition hervor, vielmehr habe ich ein Problem ein Inverses und ein neutrales Element zu finden, denn für mich sieht die Relation so aus, als ob jedes Element mit jedem Element in einer Relation stehen würde, da ich immer ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ finde, so dass die Bedingung erfüllt ist.
20.11.2015, 12:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"... geht aus der Definition der Addition hervor" ist viel zu schwammig. Mache einen Beweis, wenn Du etwas lernen willst. Fange mit einfachen Dingen an, sonst lernst Du nie etwas über die (scheinbar) schwierigen Dinge.
20.11.2015, 14:03	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x + n\mathbb{Z}) + (y + n\mathbb{Z}) = (y + n\mathbb{Z}) + (x + n\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+y) + n\mathbb{Z} = (y+x) +n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} x, y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} x+y = y +x \end{eqnarray}$ und daraus folgt, dass sie kommutativ ist
20.11.2015, 14:07	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
was genau bedeutet eigentlich dieses $\begin{eqnarray} n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ?
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20.11.2015, 14:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
bessere Schreibweise: $\begin{eqnarray} (x+n \mathbb Z )+(y+n \mathbb Z )=(x+y)+n \mathbb Z=(y+x)+n \mathbb Z=(y+n\mathbb Z)+(x+n\mathbb Z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\mathbb Z=\{nk:k\in\mathbb Z\}\ \end{eqnarray}$ ist die Menge aller Vielfachen von $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Zum Beispiel ist für $\begin{eqnarray} n=3 : 3\mathbb Z=\{...,-6,-3,0,3,6,..\}, 1+3\mathbb Z=\{...,-5,-2,1,4,7,...\}, 2+3\mathbb Z=\{...,-4,-1,2,5,8,...\} \end{eqnarray}$ die Zerlegung von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ in 3 disjunkte Äquivalenzklassen. Du sollst nun beweisen, dass die Menge dieser 3 (allgemein n) Äquivalenzklassen zusammen mit der oben definierten Addition von Äquivalenzklassen eine Gruppe bilden. 3 mal darfst Du raten, welche dieser 3 Klassen das Nullelement ist.
20.11.2015, 15:32	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das für $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ . Danke du hast mir sehr geholfen jetzt habe ich ein weiteres Problem: ich habe eine neue Relation gegeben: Ich soll zeigen, dass die Menge der Restklassen $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_p \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} p \in \mathbb{N} prim \end{eqnarray}$ mit der Äquivalenzrelation: $\begin{eqnarray} x \sim y : \Leftrightarrow y = x \end{eqnarray}$ mod $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Mit der Addition bin ich fertig, was noch fehlt ist die Multiplikation Ich habe so ein Gefühl, dass meine Umformung nicht passt, oder dass man sie noch vereinfachen könnte: $\begin{eqnarray} (x+p\mathbb{Z})(y+p\mathbb{Z})=xy +p\mathbb{Z}(x+y)+p^2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$
20.11.2015, 18:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Na klar : $\begin{eqnarray} 0+y+n\mathbb Z=y+n\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Geholfen hast Du dir im wesentlichen selbst. Wer anfängt zu arbeiten fängt automatisch an zu denken und die richtigen Fragen zu stellen. Vergiss nicht, das Assoziativgesetz ordentlich zu beweisen, und zu jedem Element einer Gruppe muss ein inverses Element in der Gruppe existieren. Vermutlich sollst Du zeigen, dass für jede Primzahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p \mathbb Z,+,\cdot)=(\{x+p\mathbb Z:x\in \mathbb Z\},+,\cdot) \end{eqnarray}$ ein Körper ist. Dass dies bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe ist, wissen wir schon, denn das gilt nach der vorherigen Aufgabe für jede natürliche Zahl, also insbesondere für Primzahlen. Die Multiplikation ist definiert durch $\begin{eqnarray} (x+p\mathbb Z)\cdot (y+p\mathbb Z)=xy+p\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Es bleibt also, die Gruppeneigenschaften für alle von $\begin{eqnarray} 0+p\mathbb Z \end{eqnarray}$ verschiedenen Elemente zu zeigen (klar: auch wieder abelsch), und das Distributivgesetz. Damit Du besser verstehst, warum das nur für Primzahlen gilt, kannst Du gleich noch beweisen, dass für $\begin{eqnarray} k=nm \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} \{x+mn\mathbb Z:x\in \mathbb Z, x\ne 0\} \end{eqnarray}$ keine multiplikative Gruppe ist.
20.11.2015, 18:42	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke nochmal. Mein Problem Liegt noch darin zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} xy +p\mathbb{Z} = xy + p(x\mathbb{Z} + y\mathbb{Z} + p\mathbb{Z}) \end{eqnarray}$ wobei das bedeuten würde, dass $\begin{eqnarray} x\mathbb{Z} + y\mathbb{Z} + p\mathbb{Z} = \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ .
20.11.2015, 19:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für x=y=p ist das offenbar falsch. Ich glaube daher nicht, dass Du das beweisen sollst.
20.11.2015, 19:08	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie zeige ich dann, dass die Rechenregel für die Multiplikation gilt?
20.11.2015, 19:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie gilt nicht im Sinne einer wie auch immer definierten "Mengenmultiplikation". Die Äquivalenzklassen werden addiert oder multipliziert, indem man per Definition Vertreter der Klassen addiert oder multipliziert und dann die Klasse der Summe oder des Produkts bildet. $\begin{eqnarray} (x+n\mathbb Z)+(y+n\mathbb Z):=x+y+n\mathbb Z,(x+n\mathbb Z)\cdot (y+n\mathbb Z):=x\cdot y+n\mathbb Z \end{eqnarray}$ .Oder auch mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , wenn man einen Körper haben will.
20.11.2015, 19:22	myrmos	Auf diesen Beitrag antworten »
verstanden Danke für deine Mühe

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