Aufgabe mit rekursiven Folgen

20.11.2015, 16:43

Dondar

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Aufgabe mit rekursiven Folgen

Meine Frage:
Wir setzen $\begin{eqnarray*} a_{1}:= 1, b_{1}:= 2 \end{eqnarray*}$ und definieren uns rekursiv Folgen $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(b_{n} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ nach dem folgenden Prinzip:
- betrachte $\begin{eqnarray*} c_{n}:=\frac{a_{n} + b_{n} }{2} \end{eqnarray*}$
- falls $\begin{eqnarray*} c_{n} ^{2} < 3 \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:=c_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1}:=b_{n} \end{eqnarray*}$
- falls $\begin{eqnarray*} c_{n} ^{2} \geq 3 \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} a_{n+1}:=a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1}:=c_{n} \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Es gilt $\begin{eqnarray*} b_{n} \geq a_{n} \end{eqnarray*}$ und die Folge der Intervalle $\begin{eqnarray*} \left[a_{n} ,b_{n} \right] \end{eqnarray*}$ bilden eine Intervallschachtelung, d.h. $\begin{eqnarray*} \left[a_{n+1} ,b_{n+1} \right] \subset \left[a_{n} ,b_{n} \right] \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

b) Es gilt $\begin{eqnarray*} a_{n} ^{2} <3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} ^{2} >3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} | b_{n} - a_{n} | \leq 2^{1-n} \forall n\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \bigcap _{n\in \mathbb N } \left[a_{n},b_{n} \right] \end{eqnarray*}$ enthält ein einziges Element c; dieses hat die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} c= \lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray*}$

d) Der Grenzwert erfüllt die Gleichung $\begin{eqnarray*} c^{2}= 3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, das klingt jetzt blöd, aber ich komme irgendwie gar nicht weiter. Das mit dem rekursiven Definieren habe ich jetzt nach langem Nachdenken halbwegs durchblickt, aber ich komme nicht auf einen Ansatz, die Aufgabe zu lösen. Ich denke, ich käme schon weiter, wenn ich nur einen Startpunkt hätte, denn so schwer kann das doch nicht sein, aber da hab ich einfach Probleme. Ich habe noch nie eine Aufgabe mit solchen rekursiv definierten Folgen gesehen... Wäre um Hilfe sehr, sehr dankbar!

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

20.11.2015, 17:09

Matt Eagle

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
Fang doch einfach mal mit Aufgabe a.) an und zeige dazu zunächst mittels vollständiger Induktion, dass

$\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n\text{ für alle }n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Im Induktionsschritt musst Du dabei lediglich die 2 Fälle ( $\begin{eqnarray*} c_n^2<3 \text{ und }c_n^2 \geq 3 \end{eqnarray*}$ ) unterscheiden.

20.11.2015, 17:14

ollie3

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
Hallo,
Ich verrate dir schonmal, das das ganze natürlich ein verfahren ist, um die Wurzel aus 3 zu berechnen,
Und zwar mit den a_i nähert man sich der Wurzel von unten, mit den b_i von oben, die a_i`s steigen,
Die b_i`s fallen, und der Grenzwert beider folgen ist natürlich die Wurzel selbst...
Gruss ollie3

20.11.2015, 17:25

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
ich habe es schon mit Induktion bei der a) versucht, nur irgendwie entgeht mir da noch was.

Also Induktionsanfang ist ja klar.
Induktionsschritt: Hier hab ich einfach für alle n n+1 eingesetzt (bzw. n+2 für alle n+1). Aber das macht mir die Sache noch nicht klar... Wie bringe ich da die Induktionsvoraussetzung ins Spiel? Oder wäre es diesbezüglich geschickter, n-1 statt n und n statt n+1 zu nehmen?

20.11.2015, 17:33

Matt Eagle

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
Okay, also betrachten wir zunächst den Fall $\begin{eqnarray*} c_n^2<3 \end{eqnarray*}$

Laut IV gilt: $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} a_n+b_n\leq 2 b_n\Rightarrow \underbrace{\frac{a_n+b_n}2}_{=a_{n+1}}\leq b_n=b_{n+1}. \end{eqnarray*}$

Und der andere Fall läuft analog.

20.11.2015, 17:46

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
ahh klar okay, ich bin da etwas durcheinander gekommen, jetzt hab ich es verstanden, der zweite Fall war auch kein Problem.

Bei der a) ist ja auch noch das mit der Intervallschachtelung zu zeigen. Ich meine, eigentlich ist das ja ganz logisch, denn b ist stets größer/gleich a (wie gezeigt) und a wird größer, b kleiner für n gegen unendlich. Aber wie zeigt man das mathematisch?

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20.11.2015, 17:50

Dondar

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geht man da ran mit der Ungleichung $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_{n} \end{eqnarray*}$

und versucht das zu zeigen? z.T. ist das ja per Induktion bereits gezeigt.

20.11.2015, 17:56

Matt Eagle

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
Dazu wäre es ganz nützlich jeweils die Monotonie der Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N}\text{ und }(b_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.
Auf Basis der gezeigten Ungleichung ist das auch ziemlich offensichtlich.

Die Intervallschachtelung folgt dann (auch formal) aus dem bisher Gezeigten (Ungleichung und Monotonie).

20.11.2015, 18:00

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
aber die Monotonie folgt ja direkt aus $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_{n} \end{eqnarray*}$ , oder?

$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq b_{n} \end{eqnarray*}$ ist ja schon gezeigt, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq b_{n+1} \end{eqnarray*}$ natürlich auch. Aber $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \leq b_{n} \end{eqnarray*}$ folgt ja noch nicht aus der Induktion, oder? Müsste man das dann nochmal separat zeigen?

20.11.2015, 18:12

Matt Eagle

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen

Zitat:

Original von Dondar
...müsste man das dann nochmal separat zeigen?

Ja, darauf wollte ich mit meinem vorigen Beitrag hinaus!

20.11.2015, 19:40

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
würde ich so machen:

für $\begin{eqnarray*} c_n^2<3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=c_{n}=\frac{a_{n} + b_{n} }{2}\geq \frac{2a_{n} }{2}= a_{n} \end{eqnarray*}$

und eben analog für $\begin{eqnarray*} c_{n} ^{2} \geq 3 \end{eqnarray*}$

stimmt das?

Wie würde man denn bei der b) vorgehen? Ich habe den Term von cn mal nach an und bn aufgelöst, aber da komme ich dann nicht mehr weiter.

20.11.2015, 20:20

Matt Eagle

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen

Zitat:

Original von Dondar
...
stimmt das?

Ja, das stimmt!

Zitat:

Original von Dondar
Wie würde man denn bei der b) vorgehen? Ich habe den Term von cn mal nach an und bn aufgelöst, aber da komme ich dann nicht mehr weiter.

Auch bei b.) hilft eine (fast triviale) vollst. Induktion.

Sei $\begin{eqnarray*} a_n^2<3 \end{eqnarray*}$

I. $\begin{eqnarray*} c_n^2<3 \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=c_n \Rightarrow \ldots \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} c_n^2\geq 3 \end{eqnarray*}$
...

Und für den 2. Teil hilft es zunächst zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-b_{n+1}|=\frac 12|a_n-b_n| \end{eqnarray*}$ und dann induktiv zu schliessen.

21.11.2015, 09:20

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
Also, mit der Induktion hatte ich keine besonderen Probleme, außer bei II. $\begin{eqnarray*} c_n^2\geq 3 \end{eqnarray*}$ :

Denn dann gilt ja $\begin{eqnarray*} b_{n+1} = c_{n} \Rightarrow b_{n+1} ^{2} = c_{n} ^{2} \geq 3. \end{eqnarray*}$

Aber ich brauche ja ein striktes größer und kein größer/gleich... Was fehlt da noch?

21.11.2015, 12:53

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
hätte da nicht jemand einen kurzen Tipp für mich?

21.11.2015, 15:15

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
ich habs versucht mit einem Widerspruchsbeweis (also sei bn=3) versucht, aber das führt irgendwie nicht zum Ziel... Was übersehe ich da?

21.11.2015, 16:53

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
weiß niemand, wie das geht? So schwer kann das doch nicht sein ;-) nur ich komm wieder nicht drauf...

22.11.2015, 09:24

Dondar

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
kann mir keiner den Tipp geben, wenns so trivial ist?

Noch eine Frage zum zweiten Teil der b): Ich kann beweisen, dass $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-b_{n+1}|=\frac 12|a_n-b_n| \end{eqnarray*}$ gilt, aber was meinst du damit, dann induktiv zu schließen? Ich sehe da noch nicht direkt den Zusammenhang.

22.11.2015, 09:35

IfindU

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RE: Aufgabe mit rekursiven Folgen
Du kannst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ immer eine rationale Zahl ist. Damit kann $\begin{eqnarray*} b_n^2 = 3 \end{eqnarray*}$ nicht eintreffen und aus $\begin{eqnarray*} b_n^2 \geq 3 \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} b_n^2 \neq 3 \end{eqnarray*}$ folgt also $\begin{eqnarray*} b_n^2 > 3 \end{eqnarray*}$ .

Zum zweiten Teil der b):
Du kannst es wiederholen. Es ist $\begin{eqnarray*} |a_{n+1} - b_{n+1} | = \frac 1 2 | a_n - b_n | = \frac 1 { 2^2 } | a_{n-1} - b_{n-1} | = \dots \end{eqnarray*}$ . So kommst du dann am Ende aufs gewünschte.

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