Beweis der Gleichheit zweier Homomorphismen

20.11.2015, 18:26	Francis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Gleichheit zweier Homomorphismen Hallo, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Es sei G eine endliche Gruppe und $\begin{eqnarray} \phi : G \to G \end{eqnarray}$ ein beliebiger Gruppenhomomorphismus, für den gilt $\begin{eqnarray} \phi(g)=g \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} g=e \end{eqnarray}$ ( e Neutralelement in G) gilt. Es gelte außerdem, die Komposition von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ mit sich selbst ergibt Id G . Mann zeige, dass $\begin{eqnarray} \phi = \gamma \end{eqnarray}$ und G kommutativ ist mit $\begin{eqnarray} \gamma: G \to G \end{eqnarray}$ ist ein Gruppenhomomorphismus und $\begin{eqnarray} \gamma(g) = g^{-1} \end{eqnarray}$ . Meine Idee: Ich weis nicht so recht. Mit den formalen Beweisen habe ich noch so meine Schwierrigkeiten. Da ich zeigen will, dass $\begin{eqnarray} \phi = \gamma \end{eqnarray}$ ist würde ich so anfagen, dass ich zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ die Vorraussetzungen der Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ erfüllt. $\begin{eqnarray} \gamma(e)=e^{-1}=e \end{eqnarray}$ . Da e nach Gruppenaxiom eindeutig ist und kein Inverses besitzt bzw. zu sich selbst invers ist. Damit ist die erste Vorraussetzung gezeigt. Außerdem gilt $\begin{eqnarray} \gamma(a\otimes b) = (a\otimes b)^{-1} \end{eqnarray}$ wass nach den Rechenregeln für inverse ja $\begin{eqnarray} b^{-1}\otimes a^{-1} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ja ein Gruppenhomomorphismus ist gilt $\begin{eqnarray} \gamma(a\otimes b) = \gamma(a) \otimes \gamma(b) \Rightarrow (a\otimes b)^{-1} = a^{-1}\otimes b^{-1} \Rightarrow b^{-1}\otimes a^{-1} = a^{-1}\otimes b^{-1} \end{eqnarray}$ . Wodurch auch direkt die kommutativität von G gezeigt ist, da $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ sonst kein Grußßenhomomorphismus wäre. Die Komposition mit sich selbst ergibt $\begin{eqnarray} \gamma(\gamma(x))= \gamma(x^{-1})=(x^{-1})^{-1}=x \end{eqnarray}$ . Womit gezeigt wäre, dass die Komposition die Id G ergibt. Damit ist gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ alle Vorraussetzungen von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ erfüllt. So hier ist der Punkt wo ich mir unsicher bin. Habe ich damit bereits die Gleichheit gezeigt? Ich hab zwar schon versucht den Beweis von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ aus zu starten, aber ich hab keine Idee, wie ich von den beiden Vorraussetzungen auf $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ folgern kann. Für Hinweise wäre ich euch sehr dankbar
21.11.2015, 13:58	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis der Gleichheit zweier Homomorphismen Betrachte mal die Wirkung von $\begin{align} \phi \end{align}$ auf $\begin{align} g\cdot \phi(g),g\in G \end{align}$ .

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