Bestimmung von Kern und Bild - Polynome, Ableitung

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calimero67 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung von Kern und Bild - Polynome, Ableitung
Meine Frage:
Hallo



das hier ist meine Angabe. ich soll Kern und Bild bestimmen, aber ich weiß nicht wie das bei polynomen geht. ich hab schon andere aufgabe zur bestimmung von bild und kern gelöst, aber hier fehlt mir einfach der ansatz.

Meine Ideen:
ich hab mir mal ein allgemeines polynome aufgeschrieben und dann die vorschilf von oben verwendet. wie geht es dann weiter?

danke
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung von Kern und Bild - Polynome, Ableitung
Naja, bisschen drüber nachdenken, was das denn konkret bedeutet. Zum Beispiel zum Kern: Ein solches Polynom liegt genau dann im Kern, wenn gerade das Nullpolynom ergibt (denn das ist das Nullelement in diesem Vektorraum).

ist eine reelle Zahl (der Wert des Polynoms an der Stelle ). Also muss auch eine reelle Zahl sein. Folglich muss die Ableitung also konstant sein. Das trifft nur dann zu, wenn linear oder selbst auch schon konstant ist. Damit ein Polynom also überhaupt im Kern liegen kann, muss schon mal von der Form sein, mit . Das ist im Prinzip Schulwissen bis hierhin.

Ansatz: . Was ist ? Was ist ? Beides muss dann gleich sein. Bestimme entsprechend.
calimero67 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke schonmal. ich mach mich dann mal wieder an die arbeit. aber was ist mit x^2? kommt das nicht vor? ich steh grad etwas auf dem schlauch
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung von Kern und Bild - Polynome, Ableitung
Das habe ich doch erklärt: Damit ein Polynom hier im Kern liegen kann, muss die Ableitung konstant sein. Das kann sie aber nicht sein, wenn das Polynom ein x² enthält. Wie gesagt: Schulwissen.
calimero67 Auf diesen Beitrag antworten »

oh mann ^^ sorry. gehirn noch nicht ganz da.

also: f = ax + b

f' + f(7) = 0

a + 7a + b = 0
8a + b = 0
b = -8a

so?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von calimero67
f' + f(7) = 0

Oben hieß es doch .
 
 
calimero67 Auf diesen Beitrag antworten »

ja *facepalm* Hammer aber wenn ich das ändere passts?
Gardylulz Auf diesen Beitrag antworten »

Sitz zufällig an der gleichen Aufgabe (vielleicht gleiche Uni?) und komme nicht weiter. Tu mich allgemein mit Vektorräumen von Polynomen etwas schwer.

Ich weiß jetzt auch nicht, was es mir bringen soll, dass b=6a ist. Was genau soll das nun sein?
Soll das heißen, dass f(x)=ax-6a im Kern liegt? Wenn ja, wie bestimme ich die Basis dann dazu?

Standardbasis von Polynomen ist doch {1, x, x², x^3, ... , x^n}.

Sind die Basen vom Kern einfach "1" und "x" in f(x) eingesetzt oder geht man so beim Bild vor?

Hab schon das halbe Internet nach ähnlichen Aufgabenstellungen durchforstet, nur löst das jeder anders, so dass ich jetzt nur noch mehr verwirrt bin, wie man Kern und Bild sowie deren Basen bestimmt ...

Bei einer Matrix ist es so schön einfach...

Insgesamt glaube ich, dass mir nicht viel zum Verständnis fehlt, ich bekomme es nur nicht auf die Reihe das Wissen richtig zuzuordnen.
Gardylulz Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal rumprobiert und bin auf folgendes gekommen:

Basis Kern ist {ax-6a}
Basis Bild ist {(-a-6b - 47c*x)}

Würde mich auf Rückmeldung echt freuen...sitze seit 3h daran und komm einfach nicht weiter. Die richtige Lösung steht bestimmt schon auf einem der vielen Blätter. Ich weiß einfach nicht, was davon was sein soll ...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Im Kern liegen die Polynome, für die gilt, dass ist (also das Nullpolynom). Offenbar erfüllen alle Polynome von der Form diese Bedingung. Rechne das doch einfach nach. Für kann man jede reelle Zahl einsetzen. Zum Beispiel liegt also das Polynom im Kern. Oder das Polynom . Aber auch das Nullpolynom (man kann ja auch setzen). Insgesamt liegen also alle (unendlich vielen) Polynome der Form im Kern. Eine Basis des Kern, wenn das zur Aufgabe gehört, ist einfach

Deine Basis des Bildes ist falsch, ich kann so natürlich auch nichts weiter dazu sagen, ich hab ja keine Ahnung, was du gerechnet hast. Bei der Basis des Kerns würde ich das rausnehmen. war ein freier Parameter, der Basisvektor kommt auch ohne den aus.

Anstatt das halbe Internet nach "ähnlichen Aufgaben" zu durchforsten, würde ich einfach mit ein bisschen Überlegung an die Aufgabe herangehen. Es gibt nicht immer und überall DAS Kochrezept, das man 1 zu 1 kopieren kann. Was ist gegeben? Was ist verlangt? Was weiß ich alles? Wenn man das alles schon mal sauber aufschreibt, ist das schon die halbe Miete. Zumindest bei Aufgaben wie diesen.
Gardylulz Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich gibt es nicht für alles ein Kochrezept und ich habe ja nicht nur nach "ähnlichen" Aufgaben gesucht, sondern auch versucht deren Lösungsweg nachzuvollziehen und die Erklärungen durchgelesen etc.

Dass alle Polynome der Form die eine Bedingung erfüllen ist mir klar gewesen.

Ich habe bereits auf einen Zettel alles aufgeschrieben, was ich weiß, dennoch scheitert es am Bestimmen der Basis bei Polynomen. Bei Matrizen ist das alles kein Problem und bei Vektorräumen über irgendwelche Polynome, bei denen ich ein paar Funktionen gegeben habe und überprüfen soll, ob diese eine Basis des Vektorraums bilden und ggf. noch etwas dazu ergänzen soll, damit es zur Basis wird sind kein Problem, aber hier stehe ich irgendwie total auf dem Schlauch.

Ich weiß, dass das Bild aus besteht.
Ich weiß, dass eine Basis linear unabhängig ist. Mein nächster naiver Gedanke wäre einfach:


Die Ausdrücke in den Klammern müssen offensichtlich Null sein, damit es linear unabhängig ist.

Nun kann ich noch bestimmen, dass

Und ab jetzt hab ich kein Plan.

Einfach einsetzen?


muss offensichtlich Null sein damit das gilt.

Besteht meine Basis des Bildes nun nur aus oder wie soll ich das verstehen?
Rein vom Betrachten würde es Sinn machen, dass ich damit alles der Form erzeugen könnte. Dennoch bin ich mir immer noch unsicher, was ich da überhaupt ausgerechnet habe...

In den Vorlesungen wird ständig von Matrizen geschwafelt und in den Übungen sind plötzlich Polynome drin ...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt: Ich kann deinen Gedankengängen nicht folgen. Wirklich nicht.

Offenbar hast du dir ein Polynom hergenommen. Wenn ich damit bilde, komme ich jedenfalls auf etwas völlig anderes als du.



Nun sieht man doch: Da diese völlig frei gewählt werden können, werden auch samt und sonders alle Polynom vom Grad kleinergleich auch angenommen.

Hat z.B. das Polynom ein Urbild? Klar, kann ich konstruieren. Ich setze dazu einfach , und , also . Anmerkung: Das ist jetzt nur eine mögliche Lösung, ich könnte auch zig andere konstruieren. Man hier doch alle Freiheiten.

Jedenfalls ist dann genau das gewünschte und ein Urbild ist gefunden.

Das könnte man auch allgemein machen, indem man für ein beliebiges Polynom ein Urbild konstruiert. Dann ist nachgewiesen, dass alle Polynom vom Grad gleichergleich 1 im Bild liegen. Die Polynome vom Grad 2 können nicht drinliegen, Grad 2 geht beim Ableiten ja auf jeden Fall verloren. Somit besteht das Bild aus allen Polynom vom Grad kleinergleich 1.

Also

Das kann man auch hier eigentlich schon erkennen:



Die freien Parameter schwirren da ja alle noch rum und die können ja alle reellen Zahlen annehmen. Wenn ich mir ein festes wähle, dann habe ich beim Absolutglied ja immer noch die Parameter und frei, ich ich wählen kann, wie ich will. Das ist hier eben etwas anders als noch beim Kern.

Und eine Basis des Bildes ist dann natürlich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In den Vorlesungen wird ständig von Matrizen geschwafelt und in den Übungen sind plötzlich Polynome drin ...


Vielleicht dann noch abschließend ein Kommentar hierzu:

Man darf selbstverständlich auch über den Tellerrand hinausschauen und Brücken in andere Teilgebiete spannen.
Gerade so etwas zeigt und schult eine gewisse mathematische Flexibilität, wodurch es durchaus sinnvoll ist, auch mal Aufgaben außerhalb des schematischen Einheitsbreis zu stellen.

Davon abgesehen kann man bei dieser Aufgabe ja ebenso leicht mit Matrizen arbeiten.
Niemand hindert dich daran, hier eine Abbildungsmatrix aufzustellen, welche - wie immer - spaltenweise aus den Bildern der Basisvektoren (hier 1,x und x²) besteht.
Mach das zur Übung vielleicht auch nochmal, dann hast du die Aufgabe umso mehr verinnerlicht. Augenzwinkern
Gardylulz Auf diesen Beitrag antworten »

@ Mulder Gott ist mir das peinlich. Ich hab in all meinen unzähligen Blättern und Geschmiere genau das ausgesucht, auf dem ich einen Abschreibfehler hatte ...

@Bjoern Ich habe ja nichts mal übern Tellerrand hinaus zu schauen...Die Sache ist, dass, aus welchem Grund auch immer, die Lösungen vom Übungsblatt von letzter Woche noch nicht hochgeladen sind und ich somit nicht einmal weiß, ob der Stuss, den ich letzte Woche gerechnet habe richtig ist und leider bauen meine aktuellen Aufgaben alle darauf auf.

Ich bin ja gewillt das Ganze zu lernen und zu verstehen, jedoch mangelt es erheblich an Übungsaufgaben zur Selbstkontrolle (wozu sitze ich sonst seit 17 Uhr an lächerlichen 4 Aufgaben wovon ich 1,5 gelöst habe...).

Wenn ich am Ende die Lösungen sehe, ärgere ich mich immer wieder, dass ich so viele Stunden an etwas gehockt bin, was auf 30min erledigt gewesen wäre und ich zweifle derzeit, ob ich das Studium überhaupt noch packe...anscheinend sind 14 Punkte ohne zu lernen doch nicht genug...Ich frag mich selber noch, was mich dazu bewegt mich doch immer wieder Stunden hinzuhocken und es versuchen zu verstehen.

KA, meine Motivation lässt immer mehr nach und die Selbstzweifel steigen immer mehr.

Ich weiß nicht, ob an allen Unis so verfahren wird, aber bei uns werden lediglich die Scripte 1:1 an die Tafel geklatscht...weiß um ehrlich zu sein, was das für einen Nutzen für Studenten hat.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
...und leider bauen meine aktuellen Aufgaben alle darauf auf.


Das sehe ich anders. Du sagst ja selbst ganz selbstbewusst:

Zitat:
Bei Matrizen ist das alles kein Problem


Wie gesagt, diese Aufgabe ist ohne Weiteres auch ganz normal mit deinen geliebten Matrizen lösbar. Augenzwinkern
Der einzige Unterschied ist, dass die Matrix nun erst noch aufgestellt werden muss.
Das meinte ich mit dem "Schema-F-Lernen", denn wenn die Matrix da steht, scheint dir das ja nach deinen eigenen Aussagen klar zu sein.
Du kannst aber auf Hochschulniveau auch nicht erwarten, dass du bei jeder Aufgabe alles mundgerecht so serviert bekommst, dass man nur noch irgendwelche Techniken abspult.
Hier ist es eben mal ein kleiner Kniff oder Umweg, dass man Matrix erst selbst aufstellen muss (wenn man nicht den anderen, von Mulder genannten Weg gehen mag).

Aufbauen tut das daher eigentlich nicht auf irgendetwas anderem. Das ist eine normale Kern- und Bildbestimmung, die du ja bereits beherrscht.

Zitat:
KA, meine Motivation lässt immer mehr nach und die Selbstzweifel steigen immer mehr.


Lass dich durch sowas nicht entmutigen.
Du musst für dich selbst nur herausfinden, wie du effektiv sein kannst.
Den ganzen Tag rumzuprobieren ohne genauen Plan, das ist mit Sicherheit auch verschenkte Zeit.
Das könntest du irgendwie anders koordinieren.
Wenn es denn mal nicht klappt mit ein paar Aufgaben nach einer halben oder von mir aus auch ganzen Stunde (was jedem sicher mal so ergangen ist), dann bringt es meist auch nichts, dann noch vier oder fünf Stunden ohne klare Linie über dasselbe nachzudenken.

Du kannst mit dem Skript nichts anfangen ? Ging mir oft ähnlich. Dann such dir andere Quellen.
Schau dir Vorlesungsvideos an oder besorge dir alternative Literatur.
Oder mache dich in Foren, wie diesem hier, schlau.
Finde die optimale Lernstrategie für dich. Wink
Gardylulz Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das über Matrizen probiert und da bin ich relativ schnell darauf gekommen.

Und wenn ich nach ~1h nicht drauf komme, kann ich nicht einfach aufhören, weil ich in Gedanken ständig bei der Aufgabe bin und die endlich gelöst haben will. Und wenn ich mich auf die faule Haut lege, hab ich ständig ein schlechtes Gewissen. Will am Ende nicht sagen, dass es nicht geklappt hat, weil ich ein fauler Sack war, wobei ich nicht einmal fehlschlagen will, obwohl ich alles gegeben habe ...

Und wegen dem Skript sag ich es mal so:

Es bringt mir mehr es in Ruhe daheim durchzulesen, anstatt die Vorlesungen zu besuchen. Wenn ich in der Vorlesung einmal rauskomme, dann finde ich oft keinen Anschluss mehr und sitze blöd rum. Daheim lese ich es mir in meinen eigenen Tempo durch ...

Vorlesungsvideos und andere Literatur ist bereits meine Hauptquelle für den Stoff bzw. lese ich das Skript parallel dazu. Bin ich froh, dass ich zumindest in Physik keinerlei Probleme habe ... nur Mathe zerrt derzeit extrem.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematik kann man nicht alleine machen. Der Austausch mit anderen Mathematikern ist notwendig, egal ob das in Vorlesungen, Übungen oder Seminaren ist. Freue Dich, dass du das Privileg hast, studieren zu dürfen. Übe Dich in Geduld und Gleichmut, lerne und arbeite, dann kommt irgendwann die nötige Einsicht und vielleicht sogar ein bißchen Erfolg.
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