Fehlerabschätzung für lineare Interpolation

21.11.2015, 10:28	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerabschätzung für lineare Interpolation Hallo, ich soll folgendes zeigen: Für den linearen Interpolationsoperator $\begin{eqnarray} I_h: H^1(0,1) \rightarrow V_h \end{eqnarray}$ gilt die Fehlerabschätzung $\begin{eqnarray} \| u - I_h(u)\|^2_{H^1(0,1)} \le \sum\limits_{k=1}^{n_h} h_k^2 \int_{T_k} \! \|u''(x)\|^2 \, \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u \in C^2[0,1] \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} V_h \end{eqnarray}$ der Raum der stetigen Funktionen, die auf jedem Teilintervall der Zerlegung $\begin{eqnarray} 0 = x_0 < x_1 < ... < x_{n_h} = 1 \end{eqnarray}$ ein Polynom ersten Grades sind und $\begin{eqnarray} I_h(u) \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} I_h(u)(x_i) = u(x_i) \forall i \in \{0, ..., n_h \} \end{eqnarray}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray} T_i := (x_{i-1},x_i), h_i := x_i - x_{i-1} \forall i \in \{1, n_h\} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} v \in H^1(0,1) \end{eqnarray}$ ist weiters $\begin{eqnarray} \|v\|_{H^1(0,1)} := \Vert v' \Vert_{L^2(0,1)} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz ist: $\begin{eqnarray} \|u-I_h(u)\|_{H^1(0,1)}^2 = \int_0^1 \|u'(x) - I_h(u)'(x)\|^2 dx = \sum\limits_{k=1}^{n_h} \int_{T_k} \|u'(x) - I_h(u)'(x)\|^2 dx \end{eqnarray}$ Auf diesen Teilstücken ist die Ableitung der Interpolation konstant, also $\begin{eqnarray} I_h(u)'(x) = \frac{u(x_k)-u(x_{k-1})}{h_k} \end{eqnarray}$ Aber wie kann ich dies mit der 2. Ableitung abschätzen? Liebe Grüße daLoisl

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