die Monome

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21.11.2015, 21:04	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
die Monome Hallo ! Ich habe die folgende Aufgabe : zz : Für jeden Körper K bilden die Monome $\begin{eqnarray} x^{k} \in K[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \cup {0} \end{eqnarray}$ eine Basis von K[x] [/latex]
22.11.2015, 11:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so, weil die Monome die beiden Eigenschaften einer Basis haben. Erzeugendensystem ist sofort klar. Lineare Unabhängigkeit ?
22.11.2015, 13:45	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis ! Danke für die Antwort, es ist mir leider nicht klar wieso ist daas Erzeugendensystem sofort klar ?
22.11.2015, 14:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jedes Polynom $\begin{eqnarray} p(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k \end{eqnarray}$ ist offensichtlich eine endliche Linearkombination aus Monomen, also sind die Monome ein Erzeugendensystem des Vektorraums der Polynome über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ .
22.11.2015, 14:36	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis ! Danke für die rasche Antwort, bzgl der Unabhängigkeit, wie kann ich sie zeigen, weil ich dies nicht schaffe
22.11.2015, 14:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Widerspruch. Nimm an, das Nullpolynom lasse sich nichttrivial darstellen.
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22.11.2015, 14:55	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis ! Das Nullpolynom ist folgendes definiert : p(x) = 0 * x ^n + ........ + 0 * x^n ( logischerweise ist gleich 0 ) also nehmen wir an, dass Nullpolynom nicht trivial ist : p(x) = 0 * x ^n + ........ + 0 * x^n != 0 0 != 0 ( Dies ist ein Widerspruch ) ist das so richtig ?
22.11.2015, 15:28	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ! * ..... 0 * x^0 != 0
22.11.2015, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist gar nicht gut. Wie habt ihr K[x] definiert ?
22.11.2015, 18:13	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
ein Polynomring
22.11.2015, 18:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das auch genauer ? Wie soll man mit einem schlichten Wort etwas beweisen ?
22.11.2015, 18:21	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe nochmal versucht, dies sauber zu formulieren. wir nehmen an, dass der Nullvektor sich nicht trivial lässt. 0x^n+ .........+0x^0 != 0 0 != 0 dies ist ein Widerspruch ist ja so richtig ?
22.11.2015, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Völlig sinnlos, deshalb wollte ich auf die Grundlagen zu sprechen kommen. Wenn wir nicht wissen, worüber wir reden, können wir nicht darüber reden. Oder wie Wittgenstein es formuliert hat: "Was sich überhaupt sagen lässt, lässt sich klar sagen; und wovon man nicht reden kann, darüber muss man schweigen."
22.11.2015, 18:30	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Es tut mir sehr leid, aber ich habe schon eine lange darüber gedacht, ein Freund von mir hat mir das geschickt, ich freue mich schon, wenn du mir helfen kannst.
22.11.2015, 18:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Frage Deinen Freund, was ein Polynomring ist. Frage ihn auch, ob er einen bestimmten Körper K zugrunde legt, oder ob er den Beweis ganz allgemein führen möchte.
22.11.2015, 19:04	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis ! Ich habe bei Google nachgeguckt und das Folgenden gefunden : $\begin{eqnarray} Der Polynomring K[x] über einem Körper K ist die Menge aller Polynome (a0,....,an ) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k X^k mit a_k \in K und n \in \mathbb N , weil man Polynome addieren und multiplizieren kann und alle notwendigen Regeln gelten \end{eqnarray}$
22.11.2015, 19:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Polynomring $\begin{eqnarray} K[x] \end{eqnarray}$ über einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist die Menge aller Polynome $\begin{eqnarray} (a_0,....,a_n) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k X^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_k \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , weil man Polynome addieren und multiplizieren kann und alle notwendigen Regeln gelten.
22.11.2015, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt haben wir zwei verschiedene Darstellungen. Das eine sind endliche Folgen von Körperelementen, damit lässt sich etwas anfangen. Das zweite, die endlichen Summen mit X, wo keiner genau weiß, was X ist, macht mehr Mühe. Mit anderen Worten: Man muss genau wissen, wann zwei Polynome gleich sind und wann zwei Polynome verschieden sind. Können wir uns auf Polynome als endliche Folgen einigen, und Du sagst mir, wann zwei Polynome gleich sind ??
22.11.2015, 19:12	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis ! Ich habe deine Antwort gefunden, bei der du das definiert hast matheboard.de/archive/524338/thread.html
22.11.2015, 19:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe ! jetzt werde ich zitiert und weiß, dass ich damals nicht genau genug war . Mach's besser .
22.11.2015, 19:16	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen.
22.11.2015, 19:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. $\begin{eqnarray} (a_0,...a_n)=(b_0,...,b_n)\Leftrightarrow a_i=b_i\forall i \end{eqnarray}$ .
22.11.2015, 19:21	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt !
22.11.2015, 19:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt können wir das Nullpolynom aufschreiben. genauer: Du kannst.
22.11.2015, 19:28	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das so gut verstehe, bekommt Das Nullpolynom keinen Grad also ist gleich a_0 X^0
22.11.2015, 19:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
0. Das Nullpolynom hat den Grad 0. (Vielleicht auch nicht, aber darum soll es hier nicht gehen). 1. Nicht so, sondern bitte als endliche Folge (a_0,...,a_n) . 2. Als nächstes kannst Du aufschreiben, was ein Monom (als Folge) ist. 3. Dann kannst Du die Annahme aufschreiben, dass die Monome linear abhängig sind (d.h. das Nullpolynom ist eine endliche Linearkombination aus Monomen).
22.11.2015, 19:39	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
also wäre denn : 0a_n+.......+0a_0 = 0
22.11.2015, 19:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
nein. 1. das Nullpolynom ist $\begin{eqnarray} 0=(0,...,0) \end{eqnarray}$ die Folge aus $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Nullen. 2. ein Monom ist $\begin{eqnarray} X^i=(0,...,0,1,0,...0) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ an der $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -ten Stelle. 3. Monome wären linear abhängig, genau dann, wenn das Nullpolynom sich als endliche Linearkombination von Monomen mit von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ verschiedenen Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha_i\in K \end{eqnarray}$ schreiben liesse, d.h. $\begin{eqnarray} \alpha_0(1,0,...,0)+\alpha_1(0,1,0,...,0)+...+\alpha_n(0,...,0,1)=(0,...,0) \end{eqnarray}$ ... und jetzt darfst Du weiterrechnen und daraus einen Widerspruch herleiten.
22.11.2015, 19:57	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
also daraus folgt : a_1 = .........= a_n = 0 und somit linear unabhängig ( Widerspruch zu unserer Annahme )
22.11.2015, 19:59	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ! a_0 auch gleich 0 ist
22.11.2015, 20:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es War doch gut, dass wir den Polynomring K[X] erst einmal ordentlich definiert haben. Sonst wären wir nie zum Ziel gekommen.
22.11.2015, 20:08	b0x99	Auf diesen Beitrag antworten »
Endlich haben wir das geschafft danke sehr Elvis

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