Adjungierter Operator

22.11.2015, 00:00	-Sirius-	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierter Operator Hi, ich habe eine Frage zur Definition des adjungierten Operators. Bisher kenne ich nur die folgende Definition: Seien $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ normierte Räume mit den topologischen Dualräumen $\begin{eqnarray} X',Y' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T\colon X\to Y \end{eqnarray}$ linearer, stetiger Operator, so ist der zu $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ adjungierte Operator: $\begin{eqnarray} T'\colon Y'\to X',\quad y'\mapsto y'\circ T\quad\forall y'\in Y' \end{eqnarray}$ Jetzt lese unter anderem aber auch: Seien $\begin{eqnarray} H_1,H_2 \end{eqnarray}$ Hilberträume und $\begin{eqnarray} T\colon H_1\to H_2 \end{eqnarray}$ linearer, beschränkter Operator, dann ist der $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ adjungierte Operator $\begin{eqnarray} T^\colon H_2\to H_1 \end{eqnarray}$ durch die Gleichung $\begin{eqnarray} \langle Tx,y \rangle_{H_2} = \langle x, T^* y \rangle_{H_1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in H_1 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} y\in H_2 \end{eqnarray*}$ definiert. Wie kann ich diese beiden Definitionen unter einen Hut bringen? Soweit ich weiß, spielt der Satz von Frechet-Riesz eine wichtige Rolle. Mir kommt es allerdings komisch vor, dass der adjungierte Operator einmal auf den Dualräumen definiert ist und im zweiten Fall auf den Ursprungsräumen. Leider finde ich nichts, wie die beiden Darstellungen zu verheiraten sind.
22.11.2015, 12:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierter Operator Aus Frechet-Riesz ergibt sich, dass ein Hilbertraum normisomorph zu seinem Dualraum ist. Deswegen braucht man in dem Fall nicht zwischen (Hilbert)Raum und seinem Dualraum zu unterscheiden.
22.11.2015, 16:52	-Sirius-	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierter Operator Ok, das mit der Normisomorphie ist mir bekannt. Aber die Folgerung, dass man nicht zwischen Hilbertraum und zugehörigem Dualraum unterscheiden braucht, ist mir nicht klar. Die Elemente im Dualraum sind ja trotzdem noch lineare, stetige Funktionale auf dem Hilbertraum. Wie soll man also dem adjungierten Operator, der als Argument ja solch ein Funktional erwartet, einfach einen Vektor des Hilbertraums übergeben können?
22.11.2015, 18:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierter Operator Wenn du normisomorphe Räume identifizierst, dann brauchst du bei einem Hilberraum den Begriff Dualraum de facto nicht mehr. Vielleicht hilft es, wenn du den Sachverhalt unter Verwendung der beiden Normisomorphismen aufschreibst und dann statt der Isomorphismen überall die Identität schreibst - im Sinne der Identifikation der beiden Räume.
22.11.2015, 20:49	-Sirius-	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierter Operator Kannst du bitte noch kurz erklären, was man unter "Räume miteinander identifizieren" versteht? Ich denke, dann hätte ich einen guten neuen Ansatz für das Verständnis.
22.11.2015, 21:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierter Operator Ist $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus zwischen den Vektorräumen $\begin{eqnarray} V,W \end{eqnarray}$ , dann braucht man - für alles was die Vektorraumtheorie angeht - nicht zwischen $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ und seinem Bild $\begin{eqnarray} f(v) \end{eqnarray}$ zu unterscheiden. In dem Sinn werden V und W identifiziert. Betrachte als Beispiel den Vektorraum V der Polynome vom Grad höchstens 3 und $\begin{eqnarray} W=\mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ . Auch wenn Polynome und 4-Tupel verschiedene Objekte sind, kann man sie als Vektoren (=Elemente eines Vektorraumes) identifzieren. Nicht anders ist es bei einem Hilbertraum und seinem Dualraum.
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23.11.2015, 23:24	-Sirius-	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierter Operator Trotz allem ist aber doch das Konzept des adjungierten Operators im Falle von Hilberträumen dann an diese Tatsache angepasst? Bei allgemeinen normierten Räumen bildet der adjungierte Operator also zwischen den Dualräumen ab (braucht als Argument also explizit ein Funktional auf einem normierten Raum) und bei Hilberträumen - auf Grund der Isomorphie zwischen Hilbertraum und Dualraum - quasi der Einfachheit halber zwischen den Hilberträumen selbst, d.h. der adjungierte Operator braucht hier als Argument kein explizites Funktional auf einem Hilberträumen, sondern einfach einen Hilbertraumvektor. Auch wenn ich die Identifikation der Räume miteinander einsehe, finde ich diese unterschiedliche Auslegung irgendwie seltsam. Normalerweise sollte man ja von der Definition des adjungierten Operators bei normierten Räumen ausgehen können und die Definition für den Fall von Hilberträumen direkt daraus ableiten können, denn Hilberträume sind ja nur spezielle normierte Räume. Diese Möglichkeit sehe ich aktuell aber nicht, außer man passt eben das Konzept des adjungierten Operators etwas an. Vielleicht sehe ich das ganze aber auch aus dem falschen Blickwinkel und das Konzept des adjungierten Operators basiert von vorne herein hauptsächlich auf Hilberträumen und ist für normierte Räume angepasst bzw. abstrahiert worden. Ähnlich wie man ja z.B. den topologischen Raum aus dem metrischen abstrahiert. Wie ist es dann eigentlich im Fall eines komplexen Hilbertraums? Sei $\begin{eqnarray} \Phi\colon H\to H' \end{eqnarray}$ die Abbildung vom Hilbertraum in den Dualraum und $\begin{eqnarray} x_1,x_2\in H \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ , dann gilt doch neben Bijektivität und Isometrie nur $\begin{eqnarray} \Phi(x_1+x_2)=\Phi(x_1)+\Phi(x_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi(\lambda x)=\lambda^\Phi(x) \end{eqnarray}$ , d.h $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray*}$ ist kein Isomorphismus, da letzteres nur semi-linear ist.

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