Zweielementige Halbgruppen

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lule Auf diesen Beitrag antworten »
Zweielementige Halbgruppen
Meine Frage:
Guten Morgen Matheboard smile
Ich bräuchte ein wenig Beistand bei ein paar Aufgaben...

Also :
Sei eine zweielementige Menge.

a) Geben Sie alle inneren Verknüpfungen auf H an. Wie viele sind dies ?


Meine Ideen:
Meine erste Idee wäre hier eine Verknüpfungstafel gewesen, nur damit komme ich nur auf 4 Verknüpfungen.
Die Lösung sagt, dass es 16 gibt.
Daher dachte ich vielleicht, dass ich vielleicht so Verknüpfe, also das ich aus jedem Kartesischenprodukt entweder a oder b bekomme.




Das wären dann aber für mich immer noch nicht 16 Verknüpfungen.

Könnte mir das jemand erklären ? smile
lule Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweielementige Halbgruppen
Okay jetzt habe ich es begriffen, hat zwar lange gedauert... aber es ist mir ein Lichtaufgegangen smile )

Ich habe jetzt 16 Verknüpfungstafeln da ich ja immer eine andere Verknüpfung habe Hammer ,
die die Elemente immer anders "anordnet". Wenn man dann alle möglichkeiten durchspielt kommt man nachher auf 16 verschiedene Tafeln smile

Aber es müsste doch einen Weg geben diese Anzahl elegant zu berechnen oder ?
Grüße
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RE: Zweielementige Halbgruppen
Die Verknüpfungstafel hat vier Felder, in jedes kannst du entweder a oder b eintragen, ergibt Möglichkeiten.
lule Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweielementige Halbgruppen
Ja klar stimmt! Danke smile

So aber nun geht es weiter:
Aufgabenteil e)
Geben Sie alle Halbgruppenhomomorphismen von H nach H an. Wie viele sind dies ?
Naja und hier hänge ich nun.
Ich hab nun alle Verknüpfungen herraus gesucht, die mit H eine Halbgruppe bilden.

So meine 1. Idee:
Ich nehme die 1. Verknüpfung , das ist bei mir die Verknüpfung, bei der die Verknüpfungstafel nur mit a gefüllt ist.
Und ich nehme die 2. Verknüpfung , das ist bei mir die Verknüpfung, bei der die Verknüpfungstafel nur mit b gefüllt ist.
Es muss ja gelten:


für alle a,b aus H. (Ich habe hier bewusst V1 und V2 geschrieben damit klar ist welche Verknüpfung gemeint ist.)
Nun soll
und
Daraus folgt :


b analog.

Damit hätte ich doch einen Halbgruppenhomomorphismus oder ? (Und sogar einen Isomorphismus)

Ich habe dann mal auf die Lösung geschaut und gesehen, dass es 112 davon geben soll!

Mein Frage nun, wie kommt man auf 112 ? Kann man das berechnen ? Man kann die ja nicht alle aufschreiben unglücklich
Da stehe ich echt auf dem schlauch und hoffe auf ein bisschen Hilfe smile
Grüße
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zweielementige Halbgruppen
Ich würde das ganze anders aufziehen. Es gibt ja insgesamt nur vier verschiedene Abbildungen , zwei konstante, die Identität und eine weitere Bijektion.
Wenn die Identität ein Halbgruppenhomomorphismus sein soll, muss gelten für alle . Das geht nur, wenn die Verknüpfungen und identisch sind - und natürlich H zu einer Halbgruppe machen.

Für eine konstante Abbildung, z.B. bekommt man analog die Bedingung für die Verknüpfung .
Analog für die zweite konstante Abbildung.

Für die letzte Abbildung habe ich noch keine rechte Idee. Momentan artete mir das in zu viel Handarbeit aus.
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