Kleinstes n finden

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123Nimm3 Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinstes n finden
Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe:
Es sei h>0. Zeigen Sie bitte, dass es zu jedem Epsilon>0 ein gibt, sodass gilt indem Sie die Bernoulische Ungleichung geeignet anwenden

Meine Ideen:
Also ich weiß nicht ganz wie ich Anfangen könnte ich weiß das ich das irgendwie so umformen muss das n alleine steht aber wegen dem Betrag weiß ich nicht ganz wie ich das machen soll mit der Bernouli Ungleichung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Betragszeichen sind hier nicht von Bedeutung, weil hier ohnehin alles positiv ist.
Wenn du nun in der Ungleichung zeigen kannst, dass sie anstatt mit auch mit richtig wird, dann ist der Beweis erbracht, denn es gilt

Das heisst, wenn die Ungleichung für gilt, dann erst recht für , weil wegen des größeren Nenners der Bruch (welcher ist) kleiner wird.

mY+
123nimm3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also verstehe ich das jetzt richtig da die bernoulische Ungleichung so gilt (1+x)^n>= (1+nx)
können wir das ganz einfach anwenden müssen aber anstatt größer gleich kleiner machen da 1/(1+h)^n ja ein bruch ist und der bruch mit dem größeren zähler ist ja kleiner.
Es gilt also dann 1/(1+nh)< Epsilon
ich würde dann einfach so umformen :
1/(1+nh) <Epsilon /*(1+nh)
1<Epsilon *(1+nh)
1/Epsilon < 1+nh
1/Epsilon -1 < nh

Ich weiß jetzt nicht was ich mit der nh machen soll btw ob das der richtige weg ist..
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, daraus kannst du ja noch berechnen, also nach umstellen.
Weil dies nun eine feste Zahl ist, gibt es eben dieses , welches größer als diese ist.

Weil h>0 und n nicht Null ist, gilt bei dieser Ungleichnung nur das ">" - Zeichen (!)

Der Mann heisst übrigens Bernoulli

mY+
123nimm3 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich war bis hierhin gekommen:

Und wenn ich jetzt durch h teile kommt :

Und da h >0 ist also ungleich 0 würde der Bruch aufgehen.
Nur ich weiß nicht was mein <Epsilon ist und wie ich nun weiter machen kann ? hätte ich ein fest gegebenes Epsilon würde ich es einsetzen und ausrechnen doch leider ist es nicht der fall ..
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Probe können beliebige (kleine) und ein bestimmtes h eingesetzt werden.
Je nachdem ergeben sich dann daraus auch feste , ab diesen für alle diese Ungleichung gilt.
Allgemein (ohne Einsetzen) muss gesichert sein, dass die Lösungsmenge der Ungleichung eine unendliche Teilmenge von ist, also die Ungleichung für alle natürlichen n gilt,
welche größer als dieser (für ein bestimmtes geltender) Ausdruck sind.

(Wird verwendet bei Beweis der Existenz eines Grenzwertes mittels "Epsilontik": In jeder - Umgebung des Grenzwertes liegen fast alle )


In LaTeX schreibe \epsilon, dann siehst du es auch so -->

mY+
 
 
123nimm3 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ganz langsam gehe ich mal da dran.. also Sie sagten zur Probe kann ich kleine Epsilon einsetzen und ein bestimmtes h. Dann nehme ich mal für
Und für h=1
Da kommt dann 99 raus gilt also ab 100 die Ungleichung ich glaube das ist eher falsch.
Und wenn ich das Allgemein zeige also ohne zu einsetzen (was ich auch glaube ich machen muss) muss gesichert werden das die Lösungsmenge der Ungleichung eine unendliche Teilmenge von N ist.
Heißt das ich muss noch ein extra beweis machen wo ich zeige das (1/(epsilon) -1)/h eine unendliche Teilmenge von N ist ? und wen ja wie mache ich das ?
Und warum muss ich das machen ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 123nimm3
...
Dann nehme ich mal für
Und für h=1
Da kommt dann 99 raus gilt also ab 100 die Ungleichung ich glaube das ist eher falsch.
...

Das ist eben nicht falsch, es heisst dann, dass für alle ab die Ungleichung erfüllt ist.
Alle natürlichen n ab 100 bilden eine unendliche Teilmenge von N, und wenn die Ungleichung dafür erfüllt ist, ist das damit schon gezeigt, du braucht nichts mehr sonst beweisen.
Allgemein sieht es genau so aus, n ist größer als ein fester Ausdruck in und h und da nach oben nicht beschränkt ist, gilt die Ungleichung für alle n oberhalb.

Nochmals zur Schreibweise, schreibe \epsilon mit einem Backslash, nicht mit /
Wir duzen uns hier im Forum, es ist kein Problem Augenzwinkern

mY+
123nimm3 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also das mit dem einsetzten habe ich jetzt verstanden aber ich glaube das man einen Beweis immer allgemein zeigen muss also ohne etwas einzusetzen..
Und wie das allgemein geht habe ich nicht ganz verstanden bzw bin mir da nicht sicher..
Also wie kann man das denn Mathematisch Korrekt aufschreiben ? mit einsetzen setze ich einfach ein aber wenn ich das allgemein zeige ? tut mir leid ich bin noch ein Anfänger im Mathestudium aber du bist eine große Hilfe smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
...
Allgemein sieht es genau so aus, n ist größer als ein fester Ausdruck in und h und da nach oben nicht beschränkt ist, gilt die Ungleichung für alle n oberhalb.
...

Das genügt bereits.
Es gilt ja



Der Bruch rechts ist eine feste, nur von h und abhängige Zahl.
Alle , die größer als diese sind, erfüllen die Ungleichung ...

mY+
123nimm3 Auf diesen Beitrag antworten »

achso vielen dank dafür (Y)
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