Wo liegt die Ebene |
| 22.11.2015, 13:13 | lisao12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Wo liegt die Ebene Hallo zusammen, 3 D verwirrt mich... Ich bin gerade total durcheinander was die Lage von Ebenen angeht und wie ich die schon an der Gleichung (Parameterform, Normalenform und Koordinatenform) erkennen kann. Vielleicht kann mir jemand ja helfen. Meine Ideen: Beispiel: 2x1 + 3x2 + 4x3 = 0 Also ich weiß, dass der Ursprung in der Ebene liegt, weil wenn ich das d berechnen müsste, müsste ich ja einen Punkt der Ebene wählen und diesen dann mit dem NOrmalenvektor multiplizieren, und weil d= 0 ist, muss also P(o/o/o) sein. Aber wenn beispielsweise E: x1 = 3.... Dann hat mein NOrmalenvektor die Korodinaten (1/0/0). Ich weiß, dass diese Ebene parallel zur x2-x3-Ebene liegt, weil mein Normalenvektor ja quasi die x1-Achse ist. ABer sehe ich das auch nur an der Gleichung, ohne das ich mir das räumlich vorstellen muss? Meine x2 und x3 Koordinaten der PUnkte in der Ebene müssen ja nicht 0 sein. WAs sagt mir die 3 aus? Ich bin gerade etwas verwirrt und würde mich über Hilfe riesig freuen. Danke |
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| 22.11.2015, 13:35 | lisao12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also beispielsweise bei der Ebene 2x1+3x3 = 2 Ich bilde im Kopf immer den NOrmalenvektor n = (2/0/3) und wenn ich den zeichnen würde, würde ich 2 in x1- und 3 in x-Richtung gehen. Der direkte Weg vom Ursprung ist dann ein Repräsentant meines Vektors. Da ich ja nicht in x2-Richtung "gehe", weiß ich, steht mein Normalenvektor senkrecht auf der x2-Achse, nicht wirklcih,, aber in einem gewissen Abstand. Er würde da senkrecht draufstehen, wenn mein d = 0 wäre. Denn nur dann liegt der Ursprung drin (für x1 und x3 müsste ja dann ähnlich der PUnktprobe mein Ursprung eingesetzt werden und in meinem Beispiel würde dann ja da 0 = 2 stehen, also liegt der Ursprung nicht drin). Meine Eben ist also parallel zur x2-Achse. Was sagt mir mein = 2 aus? Kann ich mir das auch erklären, ohne mir das vorstellen zu müssen? Irgendwie damit, dass x2 in der Koordinatenform = 0 ist? Mein Normalenvektor zu dieser Ebene muss doch immer x2 = 0 haben, weil sonst würde ich ja auch etwas in x2 -Richtung gehen und dann wäre die Lage von n ja verändert, oder? |
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| 22.11.2015, 13:45 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Ebenengleichung der Form hat die Normale und den Abstand d zum Ursprung. Mit einer Verschiebung der Ebene entlang der Normalen um d landest du also im Ursprung mit deiner Ebene. |
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| 22.11.2015, 13:51 | lisao12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ist d der Abstand zum Ursprung. Muss man sich das einfach merken oder kann man sich das herleiten? Das d bekomme ich ja aus der Multiplikation meines Normalenvektors mit einem Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Ich verstehe auf Anhieb nicht, warum da dann automatisch der Abstand rauskommt. Danke für die Hilfe |
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| 22.11.2015, 14:29 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dazu kann man sich überlegen, wie denn der kürzeste Abstand zu der Ebene ist (vom Ursprung aus) Dazu bastele ich mir eine Gerade, die durch den Ursprung geht und senkrecht zu der Ebene ist. Dann berechne ich den Durchstoßpunkt durch die Ebene und berechne die Länge, die die Normale bis dahin hat. Nehmen wir eine allgemeine Ebene mit Die Normale hat die Gleichung Jetzt kann man den Durchstoßpunkt berechnen, dazu muss für gelten: Das setzen wir in unsere Geradengleichung ein: Und zum Schluss berechnen wir die Länge dieses Vektors, was kommt da wohl heraus? Wenn der Normalenvektor normiert vorliegt ist das der Abstand zum Ursprung 
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| 22.11.2015, 14:31 | lisao12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah, ok, super und vielen lieben Dank... Kannst du mir vielleicht auch bei meiner ersten Frage weiterhelfen? |
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| 22.11.2015, 14:39 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe noch eingfügt, dass der Normalenvektor normiert sein muss, also die Länge 1 haben muss, damit der Abstand herauskommt, das habe ich in meinem ersten Post vergessen zu schreiben, also erst die Ebenegleichung "normieren", was ja auch klar ist, da ich ansonsten ein Vielfaches des normierten Normalenvektors habe, also durch die Länge des Normalenvektors dividieren muss. Das mit "an der Glecihung sehen" ist etwas viel verlangt und braucht einfach Übung. Wenn man sich Funktionen anschaut sieht amn auch nicht immer sofort, wie sie im Koordinatnekreuz liegen, man braucht Übung dazu. |
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| 22.11.2015, 14:49 | lisao12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, also muss man sich das so vorstellen, wie ich gesagt habe? Normalenvektor an der Koordinatengleichung ablesen und dann schauen, wo dieser liegt? Und Punkte in eiiner Ebene, die parallel zur x2x3-Ebene ist, müssen doch nicht die x2 und x3-Koordinaten 0 haben, oder? Die Normalenvektoren hierzu aber schon, oder? |
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| 22.11.2015, 14:57 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
...und wie groß der Abstand zum Ursprung ist....
Nein, müssen sie nicht, aber für sie alle gilt, dass die x_1 Koordinate gleich ist
Jap. |
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| 22.11.2015, 15:11 | lisao12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok... super... TAusend Dank. Eine letzte Frage hätte ich noch, mir fellt es aber sehr schwer, diese zu formulieren: Eine Ebene, die parallel zur x2x3-Ebene ist hat die Normalenvektoren (t/0/0), oder? Da müssen doch die x2 udn x3 Koordinaten 0 sein, weil der Vektor sonst "schräg" wäre, oder? Wenn man beispielsweise den Vektor (1/1/0) als Normalenvektor hätte und sich den vom Ursprung ausgehend vorstellt (man könnte ihn dann ja verschieben), dann würde ich ja 1 in x1 und 1 in x2 Richtung gehen. Der direkte Weg, also wie mein Pfeil dann aussieht, wäre ja eigentlich dann ein Stück der Winkelhalbierende von x1 und x2, oder? |
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| 22.11.2015, 15:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jede Normale einer Ebene, die Parallel zur y-z Ebene liegt verläüft parallel zur x-Achse. Wenn man einen Normalenvektor (1,1,0) hat, dann liegt keine der Ebenen, die diesen Normalenvektor haben parallel zur y-z ebene, die Ebene liegt "schief im Raum". Die Gerade ist die Winkelhalbierende im Ursprung in der x-y Ebene. Ich hoffe deine Frage richtig verstanden zu haben. |
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| 22.11.2015, 16:03 | lisao12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok.. Super... Tausend tausend tausend Dank für deine Hilfe..... Total nett... Danke... |
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