Kommutativität bei idempotenten Ringen

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moonpie Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutativität bei idempotenten Ringen
Meine Frage:
Hallo allerseits,
Ich habe folgendes Problem:

Aufgabenstellung:
Ein Ring heißt idempotent, wenn für alle gilt.
Beweisen Sie:
Ist ein idempotenter Ring mit Einselement 1, so ist er kommutativ.

In einer voerhergehenden Aufgabe habe ich bereits bewiesen dass in idempotenten Ringen mit Einselement 1 gilt, dass

Meine Ideen:
Das kann eigentlich nicht so schwer sein, aber ich finde einfach keinen Ansatz der funktioniert.
Folgendes habe ich versucht:

Allerdings fehlen mir bei diesem Ansatz die multiplikativen Inversen.

Mein zweiter Ansatz war, mir die Kommutativität und inversen Elemente bzgl. zur Hilfe zu nehmen:

Wie ich das auch drehe und wende ich lande immer wieder bei

Irgendwie muss ich da doch verwenden können dass gilt. Ich komme aber einfach nicht drauf...
moonpie Auf diesen Beitrag antworten »

Habe noch einen anderen Ansatz:
In einer anderen Aufgabe haben wir bereits bewiesen, dass



Wegen der Existenz des Einselementes:


Also im Prinzip habe ich das Einselement von rechst nach links durchgeschoben, aber weil ich das Einselement eben auch als schreiben kann und durchschiebe habe ich doch allgemeine Kommutativität gezeigt.
Hoffe ich zumindest verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutativität bei idempotenten Ringen
Probier's mal mit .
moonpie Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich versuch's mal.



hier kann ich jetzt die Kommutativität bzgl ausnutzen:




Ich setze mich da morgen noch mal frisch dran, jetzt gerade will mein Kopf nicht mehr so wie ich
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das erheblich vereinfachen, wenn du die Idempotenz benutzt. Ansonsten macht deine Rechnung wenig Sinn. Die Kommutativität unter Addition ist doch klar. Es geht um die Multiplikation.
moonpie Auf diesen Beitrag antworten »

Die besagt ja dass

und da bzgl. die Addition nach vorraussetzung Asoziativ ist


Bin ich damit auf dem richtigen Weg ?
edit: also nicht^^
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ein wenig auf dem richtigen Weg. Multiplizier das mal aus und benutze nochmal die Idempotenz.
moonpie Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann

mit Idempotenz:


Danke dass Du dir die Zeit nimmst mir zu helfen, aber du hast mich grade abgehängt Hammer
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt musst du nur noch benutzen.
moonpie Auf diesen Beitrag antworten »

Auch auf die Gefahr hin deine Geduld über zu strapazieren, aber es ist mir nicht ganz klar wie du das meinst.
Meinst du damit, dass ich statt erstmal

direkt

schreibe ?
In dem Fall wäre mir nämlich nicht klar, wie ich damit Kommutativität bewiesen hätte.

Ich werde da jetzt erstmal drüber schlafen hoffe dass mir das morgen klarer wird wenn ich nicht mehr so sehr in meinem Gedankengang stecke.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, schlaf mal drüber. Denn es sollte jetzt eigentlich ziemlich offensichtlich sein, wie es weitergeht.
moonpie Auf diesen Beitrag antworten »

Ich war jetzt in der Übung, die Lösung war tatsächlich ziemlich offensichtlich.
Da hatte ich wohl (mal wieder) ein ziemlich dickes Brett vorm Kopf Hammer
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