Beweisen, dass zwei Suprema gleich sind

22.11.2015, 15:32

hallomathe123

Beweisen, dass zwei Suprema gleich sind

Meine Frage:
schönen nachmittag...ich steck bei einem beispiel total und brauch deswegen eure hilfe

die angabe:
Sei $\begin{eqnarray*} A\subseteq X wobei (X,\leq ) \end{eqnarray*}$ eine partiell geordnete Menge ist.
Seien $\begin{eqnarray*} \alpha_{0}, \alpha_{1} \in X \end{eqnarray*}$ zwei Suprema von A

Zeigen sie dass $\begin{eqnarray*} \alpha_{0} = \alpha_{1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
meine ansätze sind die definition von gleichheit zweier elemente welche ja besagt dass wenn
$\begin{eqnarray*} \alpha_{0} = \alpha_{1} \Rightarrow (\alpha_{0} \leq \alpha_{1}) \wedge (\alpha_{0} \geq \alpha_{1}) \forall \alpha_{0}, \alpha_{1} \in X \end{eqnarray*}$

und weiters habe ich leider keine Ansätze

22.11.2015, 21:04

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha_{0} = \alpha_{1} \Rightarrow (\alpha_{0} \leq \alpha_{1}) \wedge (\alpha_{0} \geq \alpha_{1}) \forall \alpha_{0}, \alpha_{1} \in X \end{eqnarray*}$

Das ist nicht so interessant, wichtig ist genau die andere Richtung: Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_0\leq \alpha_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_1\leq \alpha_0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt bereits $\begin{eqnarray*} \alpha_0=\alpha_1 \end{eqnarray*}$ . Das ist die Antisymmetrie, die jede Partialordnung erfüllt.

Die Idee, das auszunutzen, ist genau richtig. Also $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ ist obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_0 \end{eqnarray*}$ ist die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , was bedeutet das?

22.11.2015, 21:35

hallomathe123

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genau das weiß ich nicht. Es ist klar, dass es beide obere schranken sind, aber wie beweiße ich, dass sie gleich sind?

ich mein ich kann ja mal allgemein sagen, es existieren sagen wir mal a1 und a2 aus A. und nehmen wir mal an, dass a1 und a2 positiv sind

$\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2} \in A \end{eqnarray*}$

ich definiere

$\begin{eqnarray*} \alpha _{0}+a_{1}= \alpha _{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_{1}+a_{2}= \alpha_{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\alpha_{0}+a_{1}+a_{2}=\alpha_{0} \end{eqnarray*}$ oder?

deswegen muss auch a1+a2=0...da wir angenommen haben dass a1 und a2 positiv sind, kann es dies nur möglich sein, wenn a1=a2=0...
kann ich jetzt einfach von dem schließen dass

$\begin{eqnarray*} a_{1} = a_{2} \Rightarrow \alpha_{0} = \alpha_{1} \end{eqnarray*}$

22.11.2015, 21:52

Guppi12

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Was du jetzt gemacht hast führt überhaupt nicht in die richtige Richtung, es macht auch nicht wirklich Sinn, was da steht.

Also, du hast zwei obere Schranken $\begin{eqnarray*} \alpha_0,\alpha_1 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha_0 \end{eqnarray*}$ unter den oberen Schranken eine kleinste ist, dann ist sie doch sicherlich auch kleiner/gleich $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ ist doch auch eine obere Schranke. Was heißt das in Formeln?

23.11.2015, 08:02

hallomathe123

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Ich hab überhaupt keine ahnung... ich meine ok ich sehe ein dass

$\begin{eqnarray*} \alpha_{0} \leq \alpha_{1} \end{eqnarray*}$

aber wie beweise ich die andere richtung?

23.11.2015, 08:43

Guppi12

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Die Situation ist doch vollkommen symmetrisch in $\begin{eqnarray*} \alpha_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ . Du kannst deren Rollen ohne weiteres tauschen.

23.11.2015, 08:55

hallomathe123

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glaub ich habs grad gecheckt...weil supremum heißt ja kleinste oerste schranke Big Laugh

und wenn es 2 suprema gibt, müssen beide die kleinste oberste schranke sein und somit auch gleich sien smile

oder?

23.11.2015, 09:02

Guppi12

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Nein, dein Text beweist nichts. Führe es so zu Ende, wie wir begonnen haben. D.h., beide Ungleichungen einzeln zeigen und danach die Antisymmetrie ausnutzen.

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