Ist die Nullfolge (x[n]*y[n]) eine Nullfolge, so ist x[n] oder y[n] eine Nullfolge.

22.11.2015, 20:29

IAmSherlocked

Ist die Nullfolge (x[n]*y[n]) eine Nullfolge, so ist x[n] oder y[n] eine Nullfolge.

Meine Frage:
Die Aussage ist zu beweisen oder mit einem Gegenbeispiel zu widerlegen.

Meine Ideen:
Da ich kein Gegenbeispiel gefunden habe, denke ich, dass die Aussage stimmt, aber beim Beweisen haperts dann.
Klar ist, dass wenn die Folgen x[n] und y[n] konvergent sind mit lim(x[n])=x und lim(y[n])=y, dann gilt lim(x[n]*y[n])=xy. Also muss in dem Fall mindestens eine Folge eine Nullfolge sein. Problem ist dann, wenn eine Folge divergent ist oder sogar beide divergent sind, wie man das dann beweisen soll.

22.11.2015, 20:32

10001000Nick1

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Beweisen wird schwierig. Augenzwinkern

Nimm z.B. für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Folge, die für alle geraden n gleich 0 ist; und für $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ eine Folge, die für alle ungeraden n gleich 0 ist.

22.11.2015, 21:13

IAmSherlocked

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Ok danke, also mir fallen da ein: x[n]=1+(-1)^n und y[n]=1-(-1)^n. Die haben dann die Häufungspunkte 0 und 2 und sind divergent. Wenn ich die beiden miteinander multipliziere, erhalte ich eine Nullfolge. Ist das richtig so?

22.11.2015, 21:21

10001000Nick1

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Ja, das passt so. smile

22.11.2015, 21:50

IAmSherlocked

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Danke

, Sorry wenn ich nochmal nerve. Ist diese Aussage wahr oder falsch: Ist die Folge (x[n]*y[n]) beschränkt, so ist x[n] oder y[n] beschränkt. Ich bin mir nicht sicher, dass es richtig ist. Das Produkt zweier beschränkter Folgen ist auf jedenfall beschränkt.

22.11.2015, 21:56

10001000Nick1

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Du nervst nicht, keine Sorge. smile

Du kannst als Gegenbeispiel wieder Folgen nehmen, die an gerader bzw. ungerader Stelle Null sind.

22.11.2015, 22:21

IAmSherlocked

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Ich find immer noch kein Beispiel... Ich brauch noch einen Tipp Augenzwinkern

22.11.2015, 22:25

10001000Nick1

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Wir wollen unbeschränkte Folgen finden, deren Produkt beschränkt ist.

Für $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ setzen wir die geraden Folgenglieder Null und für $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ die ungeraden Folgenglieder. Dann ist das Produkt $\begin{eqnarray*} (x_n\cdot y_n) \end{eqnarray*}$ konstant Null, also beschränkt, unabhängig von der Wahl der restlichen Folgenglieder.
Fällt dir da irgendwas ein, sodass $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ unbeschränkt sind? (Z.B. könnte man bei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ die ungeraden Folgenglieder immer größer werden lassen.)

22.11.2015, 22:43

IAmSherlocked

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Ja das war auch meine Idee, eine Folge der Art 0,1,0,2,0,3 usw. Ich wusste nur nicht wie ich das Aufschreiben soll. Aber ich glaub ich hab was gefunden: x[n]=(1+(-1)^(n+1)+n/2) und y[n]=(1+(-1)^n+n/2). Das sind zwei unbeschränkte Folgen. Aber wenn ich die multipliziere kommt keine beschränkte Folge raus. Wo ist der Fehler?

22.11.2015, 22:56

10001000Nick1

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Zitat:

Original von IAmSherlocked
Ja das war auch meine Idee, eine Folge der Art 0,1,0,2,0,3 usw. Ich wusste nur nicht wie ich das Aufschreiben soll.

Was spricht denn gegen $\begin{eqnarray*} x_n=\begin{cases}0, \text{ falls } n \text{ ungerade } \\ \frac n 2, \text{ falls } n \text{ gerade }\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von IAmSherlocked
x[n]=(1+(-1)^(n+1)+n/2) und y[n]=(1+(-1)^n+n/2). Das sind zwei unbeschränkte Folgen. Aber wenn ich die multipliziere kommt keine beschränkte Folge raus. Wo ist der Fehler?

Die Folgen sehen so aus:
$\begin{eqnarray*} (x_n)=(\frac 5 2, 1, \frac 7 2, 2, \frac 9 2, 3, ...), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (y_n)=(\frac 1 2, 3, \frac 3 2, 4, \frac 5 2, 5, ...) \end{eqnarray*}$ .

Da hast du nirgends eine Null.

22.11.2015, 22:57

IAmSherlocked

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Sorry, Schmarrn. Ich meine natürlich *(n/2), genauso gut geht auch mal n. Aber trotzdem, wenn ich die multipliziere bekomm ich keine beschränkte Folge.

22.11.2015, 23:00

10001000Nick1

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Auch $\begin{eqnarray*} x_n=1+(-1)^{n+1}\cdot \frac n 2 \end{eqnarray*}$ funktioniert nicht; schreib dir da mal die ersten Folgenglieder auf.

Aber so ähnlich geht es: Versuch mal $\begin{eqnarray*} x_n=(1+(-1)^{n+1})\cdot n \end{eqnarray*}$ (und analog $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ ).

22.11.2015, 23:03

IAmSherlocked

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von IAmSherlocked
Ja das war auch meine Idee, eine Folge der Art 0,1,0,2,0,3 usw. Ich wusste nur nicht wie ich das Aufschreiben soll.

Was spricht denn gegen $\begin{eqnarray*} x_n=\begin{cases}0, \text{ falls } n \text{ ungerade } \\ \frac n 2, \text{ falls } n \text{ gerade }\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Oh, daran hab ich gar nicht gedacht Hammer

, aber wie sieht dann eine Multiplikation mit so einer Folge aus, bzw. wie zeige ich, dass dann eine Nullfolge rauskommt?

Zitat:

Ja, ich meinte eigentlich auch mal n Augenzwinkern

, es wundert mich trotzdem, dass wenn ich die multipliziere keine Nullfolge rauskommt.

22.11.2015, 23:08

10001000Nick1

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Zitat:

Original von IAmSherlocked
Oh, daran hab ich gar nicht gedacht Hammer

, aber wie sieht dann eine Multiplikation mit so einer Folge aus, bzw. wie zeige ich, dass dann eine Nullfolge rauskommt?

Erstmal schreibst du dir noch auf, wie du die $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ wählst; und dann überlegst du dir, was $\begin{eqnarray*} x_n\cdot y_n \end{eqnarray*}$ ist (da könnte eine Fallunterscheidung für gerades und ungerades n hilfreich sein).

Ich bin für heute weg; aber den Rest schaffst du sicher allein. Wink

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Ist die Nullfolge (x[n]*y[n]) eine Nullfolge, so ist x[n] oder y[n] eine Nullfolge.

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