Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade |
22.11.2015, 22:01 | friggonaut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade meine Frage ist: Wieso existiert für jedes n aus den natürlichen Zahlen eine n x n - Matrix ohne Eigenvektoren, wenn n gerade ist? Für n=2 ist mir das klar, da ja nur komplexe Eigenwerte besitzt, zumal das charakteristische Polynom wie folgt aussieht: Die Diskriminante dieses Polynoms ist negativ. Es gibt also keine reellen Lösungen für die Gleichung . Folglich gibt es keine (reellen) Eigenwerte und somit auch keine Eigenvektoren. Aber wie sieht es bei n=4 aus, oder bei n= 2044 ? Wie kann man den n=2-Fall verallgemeinern? Hat jemand vielleicht einen Lösungsansatz für mich? Das wäre sehr nett. |
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22.11.2015, 22:45 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade Zu jedem Polynom p gibt es eine Matrix, deren charakteristisches Polynom p ist. Die Aussage ist übrigens falsch, wenn man komplexe Eigenwerte zulässt. Also braucht man noch ein Polynom ohne reelle Nullstelle. |
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22.11.2015, 23:04 | friggonaut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade
Nehmen wir mal an, das stimmt. Dann ist jedes Polynom char. Polynom irgend einer Matrix. Ich bau mir also ein Polynom n-ten Grades, welches keine reellen Nullstellen hat (z.B. x^4+1 für n=4). Ich weiß ja, dass das char. Polynom meiner n x n - Matrix vom Grade n ist. D.h. x^4+1 ist charakt. Polynom einer 4 x 4 Matrix, oder? Damit hätte ich es ja schon. Müsste es nur für den allgemeinen Fall notieren.
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23.11.2015, 23:48 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Es ex. n x n - Matrix mit reellen Einträgen ohne Eigenvektoren, wenn n gerade Die Matrix heißt Begleitmatrix des normierten (das hatte ich vergessen) Polynoms. Den Beweis erbringt man durch Entwicklung der Determinanten nach der letzen Spalte. Jede reelle Matrix hat komplexe Eigenwerte - manchmal haben sie alle Imginärteil Null Ist dir übrigens klar, warum das für ungerade n nicht funktioniert? |
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