Urbild = Definitionsbereich?

23.11.2015, 18:45

Aricade

Urbild = Definitionsbereich?

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich studiere Informatik im ersten Semester und habe in Analysis 1 - was mir generell eher schwer fällt - eine Aufgabe zu lösen, in der ich Zeigen muss, dass eine gegebene Abbildung bijektiv ist. Als Hinweis steht, dass ich die Stetigkeit und die Monotonie der Abbildung f zeigen und dann die Bijektivität aus dem Zwischenwertsatz folgern soll.

Hier die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f: ]-1, 1[ ----> \mathbb R <br /> x ----> \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Ich habe im Skript jetzt einen Satz gefunden, der aussagt, dass f in allen Punkten x0 stetig ist, falls das Urbild f^-1(V) einer offenen Menge relativ offen ist. In einem anderen Satz steht, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ eine offene menge ist, also auch $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss ich für die Stetigkeit von f also nur noch beweisen, dass das Urbild von f relativ offen ist.

Jetzt stellt sich mir aber die Frage, ob das Urbild immer gleich dem Definitionsbereich ]-1, 1[ entspricht, oder ob ich generell zuerst eine Umkehrfunktion bilden muss und dann den Wertebereich dieser Umkehrfunktion bestimme, um dann das Urbild von f zu erhalten.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Meine Ideen:
Ich habe bis jetzt immer angenommen, dass das Urbild das gleiche ist wie der Definitionsbereich. Mir ist klar, dass das Urbild in diesem speziellen Fall gleich dem Definitionsbereich ist, da das Urbild sonst entweder nicht definiert oder ein Element der komplexen Zahlen wäre. Was aber, wenn die Abbildung auf den reellen und den komplexen Zahlen definiert wäre? Ist ein angegebener Definitionsbereich einer Funktion immer das Urbild des Wertebereichs, oder ist es dem Aufgabensteller erlaubt, den Definitionsbereich so einzuschränken, dass nicht der ganze Wertebereich getroffen wird (womit die Abbildung ja nicht mehr Bijektiv wäre und somit ungültig). Ist das bereits die Antwort auf meine Frage? Oder gibt es doch einen Fall, in dem eine gültige Abbildung einen vom Urbild verschiedenen Definitionsbereich besitzt?

23.11.2015, 19:40

Dopap

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Wertemenge = Wertebereich ist strikt die Bildmenge . ( im deutschen Schulgebrauch !)

Wertebereich ist nicht die Zielmenge aber eine Teilmenge davon. ( z.B. ist die Funktion bei Gleichheit surjektiv)

Hält sich deine Post an diese Regel ? oder besteht Verwechselungsgefahr ?

23.11.2015, 20:32

Aricade

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Achso, also ist die Bildmenge eine Teilmenge der Zielmenge?

Also in meinem Fall besteht schon ein bisschen Verwechslungsgefahr. Ich hoffe ich verwirre niemanden mit diesem Thread. Ich habe einfach versucht, den mir vom Gymnasium bekannten Begriffen (Definitionsbereich, Wertebereich) auf die Aufgabenstellung, insbesondere den Begriff des Urbildes anzuwenden.

Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, kann die Zielmenge einer Abbildung grösser sein, als die Bildmenge, die angegeben wurde. Stimmt das so?

Ist es demnach so, dass die Bildmenge der Menge aller möglichen Funktionswerte entspricht und die Zielmenge der Menge allen Elementen des Körpers entspricht?

Danke für die Antwort! :-)

24.11.2015, 00:21

Dopap

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Zitat:

Original von Aricade
Achso, also ist die Bildmenge eine Teilmenge der Zielmenge?

ja. Und Und das Wort Menge gefällt mit besser als ...Bereich. Die erinnern etwas an Intervalle, was natürlich stimmen kann, aber nicht sein muss.

Manche Autoren setzten nämlich Wertebereich = Zielmenge. Was wir aber nicht tun.

Beispiel: sei $\begin{eqnarray*} g: \mathbb N \rightarrow \mathbb R_+ ~\text {mit}\,\, x\mapsto \sin(x) \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ die Zielmenge und $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Definitionsmenge

man könnte die Zielmenge z.b. auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \cap \mathbb R \end{eqnarray*}$ verkleinern, aber das wäre eine andere Funktion. Die Bildmenge ist schwierig anzugeben.

Zitat:

Also in meinem Fall besteht schon ein bisschen Verwechslungsgefahr. Ich hoffe ich verwirre niemanden mit diesem Thread. Ich habe einfach versucht, den mir vom Gymnasium bekannten Begriffen (Definitionsbereich, $\begin{eqnarray*} \text{Werte}\underbrace {\text{bereich}}_{\text{Menge !}} \end{eqnarray*}$ ) auf die

Aufgabenstellung, insbesondere den Begriff des Urbildes anzuwenden.

Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, kann die Zielmenge einer Abbildung grösser sein, als die Bildmenge, die angegeben wurde. Stimmt das so?

ja. Eine Bildmenge kann oder will man nicht immer angeben.

Zitat:

Ist es demnach so, dass die Bildmenge der Menge aller möglichen Funktionswerte entspricht

ja.

Zitat:

und die Zielmenge der Menge allen Elementen des Körpers entspricht?

nein. siehe oben

24.11.2015, 20:34

Aricade

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Danke vielmals für die Erklärung! smile

25.11.2015, 09:09

Iorek

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RE: Urbild = Definitionsbereich?

Zitat:

Original von Aricade
Meine Frage:
Ich habe im Skript jetzt einen Satz gefunden, der aussagt, dass f in allen Punkten x0 stetig ist, falls das Urbild f^-1(V) einer offenen Menge relativ offen ist. In einem anderen Satz steht, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^d \end{eqnarray*}$ eine offene menge ist, also auch $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss ich für die Stetigkeit von f also nur noch beweisen, dass das Urbild von f relativ offen ist.

Da hier noch nicht drauf eingegangen wurde: warum ist die Funktion denn jetzt stetig? Das hast du noch nirgendwo nachgewiesen bzw. mit dieser Definition müsstest du für eine beliebige, offene Teilmenge von $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ nachweisen, dass das Urbild ebenfalls offen ist (was eine grässliche Arbeit wird). Schlag lieber noch einmal nach, ihr solltet auch einige bekannte Funktionen als bereits als stetig identifiziert haben sowie einige "Rechenregeln" für stetige Funktionen bewiesen haben.

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