Vektorprodukt

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23.11.2015, 19:19	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt Meine Frage: Wenn $\begin{eqnarray} 0\neq w\in \mathbb R ³ \end{eqnarray}$ senkrecht sowohl zu $\begin{eqnarray} 0\neq a\in \mathbb R ³ \end{eqnarray}$ als auch zu $\begin{eqnarray} 0\neq b\in \mathbb R ³ \end{eqnarray}$ , dann ist w ebenfalls senkrecht zu $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ . Stimmt diese Aussage? Meine Ideen: Das Vektorprodukt $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Kann $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ dann überhaupt senkrecht auf alle drei stehen?
23.11.2015, 19:51	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest die Fälle " $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ linear abhängig" und " $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ linear unabhängig" einzeln betrachten.
23.11.2015, 20:47	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt Ehrlich gesagt hilft mir das gerade nicht weiter. Ich komme immer wieder zu dem Schluss, dass es falsch ist, dass w dann auch senkrecht auf das Vektorprodukt steht
23.11.2015, 21:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Fangen wir einfach mal mit dem Fall " $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ linear abhängig" an. Was ist das Vektorprodukt zweier linear abhängiger Vektoren?
23.11.2015, 21:46	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, dann bedeutet das, dass der eine ein Vielfaches des anderen ist. Dass heißt, dass beide Vektoren dieselbe Richtung haben. Und das wiederum bedeutet, dass das Vektorprodukt zwei linear abhängiger Vektoren null ergibt. Korrekt?
23.11.2015, 21:49	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt. Ist dann $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ (also zum Nullvektor)?
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23.11.2015, 21:51	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt Ja, denn der Nullvektor steht senkrecht auf alle Vektoren?!
23.11.2015, 21:58	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorprodukt Aber darf ich 0 überhaupt verwenden, da in der Aufgabe ja steht $\begin{eqnarray} a,b\neq 0 \end{eqnarray}$
23.11.2015, 22:14	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. D.h. im Fall, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ linear abhängig sind, ist $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ . Und in der Aufgabe steht nur, dass $\begin{eqnarray} a,b\neq 0 \end{eqnarray}$ . Wieso sollte das bedeuten, dass das Vektorprodukt nicht der Nullvektor ist/sein darf? Jetzt der Fall, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind: Dann sind $\begin{eqnarray} a,b,a\times b \end{eqnarray}$ linear unabhängig, bilden also eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . D.h. es gibt eindeutig bestimmte $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\in\mathbb R \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} w=\lambda_1 a+\lambda_2 b+\lambda _3 (a\times b) \end{eqnarray}$ . Soweit klar? Aus dieser letzten Gleichung kannst du drei Gleichungen ableiten, indem du einmal auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ nimmst; für die zweite Gleichung mit $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ; und für die dritte Gleichung mit $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Du hast dann also ein Gleichungssystem für die $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ wäre senkrecht zu $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ . Was gilt dann für das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle w,a\times b\rangle \end{eqnarray}$ ? (Bzw. was gilt für das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren?) Mit dieser Annahme: Schau mal, was du aus dem Gleichungssystem herleiten kannst (d.h. welche Lösung für $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \end{eqnarray}$ du dann erhältst).
23.11.2015, 22:26	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt Das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren verschwindet, also $\begin{eqnarray} ab=0 \end{eqnarray*}$ . Der erste Teil ist mir klar, also bis zu der Gleichung, aber wie ich die drei Gleichungen aufstellen soll, versteh ich nicht
23.11.2015, 22:38	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die Gleichung $\begin{eqnarray} w=\lambda_1 a+\lambda_2 b+\lambda _3 (a\times b) \end{eqnarray}$ und wollen auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ bilden: $\begin{eqnarray} (a\times b)w=(a\times b)(\lambda_1 a+\lambda_2 b+\lambda _3 (a\times b)) \end{eqnarray}$ Die rechte Seite kann man umformen: $\begin{eqnarray} (a\times b)w=\lambda_1 (a\times b)a+\lambda_2 (a\times b)b+\lambda _3 (a\times b)(a\times b) \end{eqnarray}$ Und genauso machst du das mit $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} (a\times b) \end{eqnarray}$ . Ich bin für heute weg, melde mich aber morgen wieder.
23.11.2015, 23:12	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt Kann man die Frage nicht auch einfach durch Überlegen lösen? Zwei linear unabhängige Vektoren spannen eine Ebene im $\begin{eqnarray} \mathbb R ³ \end{eqnarray}$ auf. Somit steht das Vektorprodukt dann senkrecht auf diese Ebene. Wenn w nun aber senkrecht auf $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ steht, dann steht es ja nicht mehr senkrecht auf a oder b.
24.11.2015, 13:50	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich löst man diese Aufgabe durch "Überlegen"; nichts anderes habe ich gemacht. Oder was stellst du dir unter "Überlegen" vor? Begründen sollte man diese Aussage schon noch. (Selbst, wenn das in der Aufgabe nicht gefordert ist, ist das eine gute Übung. ) Ich weiß aber auch nicht, woher diese Aufgabe kommt. In der Schule würde man das vielleicht mit einem Gleichungssystem machen (so wie oben beschrieben). An der Uni mit ein bisschen Hintergrundwissen in Linearer Algebra ist das ganze ein Zweizeiler.
24.11.2015, 19:43	leodavinci	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorprodukt Also stimmt meine ursprüngliche Vermutung, dass die Aussage falsch ist? Und danke, dass du dir die Zeit genommen hast!
24.11.2015, 23:01	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deine Vermutung ist richtig: Wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind, gibt es außer dem Nullvektor keinen Vektor, der senkrecht zu den drei Vektoren $\begin{eqnarray} a, b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\times b \end{eqnarray}$ ist. Allgemeiner gilt: Ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum mit einem Skalarprodukt und $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , dann ist nur der Nullvektor orthogonal zu allen Basisvektoren aus $\begin{eqnarray} \mathcal B \end{eqnarray}$ .

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