DGL lösen

23.11.2015, 21:56

Rivago

DGL lösen

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} \ddot x \end{eqnarray*}$ mit der Lösung $\begin{eqnarray*} \ddot x = 4 \frac{m}{s^2} \end{eqnarray*}$

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} m = 180 \ kg, J_s = 0,2 \ kg \cdot m^2, r = 0,2 \ m, F = 840 \ N, M_R = 2 \ Nm \end{eqnarray*}$

Ich habe $\begin{eqnarray*} \dot x \left ( F - \frac{4M_R}{r} \right) = \dot x^2 \left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \dot x^2 = x \cdot \frac{\left ( F - \frac{4M_R}{r} \right)}{\left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right)} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{\left ( F - \frac{4M_R}{r} \right)}{\left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right)} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ definiert.

Somit $\begin{eqnarray*} \dot x^2 = x \cdot k \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} k = \frac{\dot x^2}{x} = \frac{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2}{x} = \frac{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2}{dx} = \frac{dx}{d^2t} = \ddot x \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \ddot x = k = \frac{\left ( F - \frac{4M_R}{r} \right)}{\left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right)} \end{eqnarray*}$

Mit eingesetzten Werten erhalte ich 8.

Genau die doppelte Lösung. Kann mir jemand sagen, ob ich beim lösen der DGL einen Fehler mache?

23.11.2015, 23:22

Dopap

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RE: DGL lösen

Zitat:

Original von Rivago
Wink

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} \ddot x \end{eqnarray*}$ mit der Lösung $\begin{eqnarray*} \ddot x = 4 \frac{m}{s^2} \end{eqnarray*}$

da x=x(t) ist sollte $\begin{eqnarray*} \ddot x(t)=4 \end{eqnarray*}$ stehen.

Und leicht editiert:

-----------------------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \color{blue} \dot x(t) \left ( F - \frac{4M_R}{r} \right) = \dot x(t)^2 \left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \color{blue} \dot x(t)^2 = x(t) \cdot \frac{\left ( F - \frac{4M_R}{r} \right)}{\left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right)} \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------------------------------------
wie geht das verwirrt

24.11.2015, 07:08

Rivago

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RE: DGL lösen
Ups, da habe ich mich verschrieben. Tut mir leid Hammer

Eine Zeile weiter stimmts dann ja wieder..

Also hier die korrigierte Version:

Ich habe $\begin{eqnarray*} x \left ( F - \frac{4M_R}{r} \right) = \dot x^2 \left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \dot x^2 = x \cdot \frac{\left ( F - \frac{4M_R}{r} \right)}{\left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right)} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{\left ( F - \frac{4M_R}{r} \right)}{\left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right)} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ definiert.

Somit $\begin{eqnarray*} \dot x^2 = x \cdot k \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} k = \frac{\dot x^2}{x} = \frac{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2}{x} = \frac{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2}{dx} = \frac{dx}{d^2t} = \ddot x \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \ddot x = k = \frac{\left ( F - \frac{4M_R}{r} \right)}{\left( \frac{m}{2} + \frac{2J_s}{r^2} \right)} \end{eqnarray*}$

Mit eingesetzten Werten erhalte ich 8.

24.11.2015, 09:43

Dopap

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RE: DGL lösen

Zitat:

Original von Rivago

Somit $\begin{eqnarray*} \dot x^2 = x \cdot k \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} k = \frac{\dot x^2}{x} = \frac{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2}{x} \stackrel {?}{=} \frac{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2}{dx} \stackrel {?}{=} \frac{dx}{d^2t} \stackrel {?}{=} \ddot x \end{eqnarray*}$

Dir graut wohl vor nix! Ob Freund oder Feind, tapfer in die Schlacht mit den Leibniz-Symbolen unglücklich

Ich sagte doch, dass x eine Funktion von t ist. Demnach ist $\begin{eqnarray*} \ddot x =\ddot x(t)= \frac{\dd}{\dd t}\left(\frac {\dd}{\dd t}(x(t))\right)= \frac {\dd ^2 x}{\dd t^2} \end{eqnarray*}$

Test mit $\begin{eqnarray*} \ddot x(t)=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dot x(t)^2=\left(\int \ddot x(t)\, \dd t \right)^2=\left(\int 4 \,\dd t\right)^2 = (4t)^2 =16t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t)=\iint 4\, \dd t = 2t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16t^2=2t^2\cdot 8 \quad \checkmark \end{eqnarray*}$

24.11.2015, 10:41

Huggy

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RE: DGL lösen
Aus

$\begin{eqnarray*} \dot x^2=kx \end{eqnarray*}$

folgt durch Ableiten nach t mit Kettenregel auf der linken Seite

$\begin{eqnarray*} 2 \dot x \ddot x=k\dot x \end{eqnarray*}$

Das ist erfüllt für

$\begin{eqnarray*} \ddot x= \frac {k}{2} \end{eqnarray*}$

und für

$\begin{eqnarray*} \dot x=0 \end{eqnarray*}$

24.11.2015, 16:52

Rivago

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RE: DGL lösen

Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Dir graut wohl vor nix! Ob Freund oder Feind, tapfer in die Schlacht mit den Leibniz-Symbolen unglücklich

Also absichtlich stürz ich mich nicht in komische Sachen. Nur war das halt das einzige, was mir in dem Moment eingefallen ist..

Irgendwie versteh ichs dann doch nicht so gut über diesen Weg.

Wie kann man das denn noch lösen?

24.11.2015, 18:29

Dopap

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das löst man wie bei "Huggy" . Bin aber selbst nicht draufgekommen.

Ein zulässiger Lösungsweg ist der Ansatz mit einer Funktion nach eigenem Gusto.

Bei $\begin{eqnarray*} \ddot x(t) + c x(t)=0 \end{eqnarray*}$ setzt du ja auch soetwas wie

$\begin{eqnarray*} x(t)=A\sin(\omega t+ \varphi ) \end{eqnarray*}$ an.

Bei deinem physikalischen Problem ( Masse , Trägheitsmoment , Drehmoment, Kraft ? ) könnte man doch

$\begin{eqnarray*} x(t)= konstant = C \end{eqnarray*}$ ansetzen und mit meiner Rechnung bestätigen.

24.11.2015, 21:32

Rivago

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Okay, hab seine Lösung jetzt verstanden. Da muss man aber erstmal selbst drauf kommen verwirrt

Wie sieht es so aus: $\begin{eqnarray*} k = \frac{\dot x^2}{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich bei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ jetzt alle Werte einsetze, steht dann ja $\begin{eqnarray*} 8 \ \frac{m}{s^2} = \frac{\dot x^2}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt die rechte Seite ableiten: $\begin{eqnarray*} 8 \ \frac{m}{s^2} = \frac{2\dot x \ddot x}{\dot x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8 \ \frac{m}{s^2} = 2 \ddot x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \ \frac{m}{s^2} = \ddot x \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ist es die selbe Vorgehensweise wie bei Huggy, oder? verwirrt

25.11.2015, 00:31

Dopap

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nein ! ganz und gar nicht !

Du musst im Umgang mit Symbolen feinfühliger werden und dir selbst bei der Arbeit
über die Schuler schauen.

1.) darf man nur eine Seite einer Gleichung ableiten ??

2.) Was ist die Ableitung eines Bruches ?????

Zufällig stimmt das Ergebnis. geschockt

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