Kettenregel

24.08.2004, 20:40

blackearth

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Kettenregel

Und wieder mal bin ich es der hier ne Frage hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x)=(\frac{2x+1}{4})*\sqrt{x^2+x+1} \end{eqnarray*}$
Diese Funktion gilt es abzuleiten ... Ich hab die Aufgabenstellung so verstanden das nur die Kettenregel eingesetzt werden soll.

Ich wüsste aber nicht wie das geht ...

mit Summenregel, Produktregel und Quotientenregel
komme ich auf
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(\frac{1}{2})*\sqrt{x^2+x+1}+\frac{2x+1}{2*\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{2x+1}{4} \end{eqnarray*}$

klar das man das ganze noch bestimmt weiter vereinfachen kann aber meine Frage is jetzt wie man nur mit der Kettenregel zum Ergebnis kommt ...

24.08.2004, 20:49

MisterSeaman

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Ich schreib einfach mal, was mir spontan dazu einfällt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{4}*(\sqrt{x^2+x+1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac {1}{4}*\sqrt{(2x+1)^2*(x^2+x+1)} \end{eqnarray*}$

Unter der Wurzel alles ausmultiplizieren und Kettenregel anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

24.08.2004, 21:10

blackearth

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danke schonma für den tip

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}*\sqrt{(2*x+1)^2*(x^2+x+1)} \end{eqnarray*}$
hab ich vereinfacht zu
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}*(4x^4+8x^3+9x^2+5x+1)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

raus hab ich
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{8}*(4x^4+8x^3+9x^2+5x+1)^{-\frac{1}{2}}*(16x^3+24x^2+18x+5) \end{eqnarray*}$

das is falsch ... hab ich die Kettenregel falsch angewendet ?
zumindest sagt derive das da was anderes raus kommt

24.08.2004, 21:45

BraiNFrosT

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RE: Kettenregel

Zitat:

Original von blackearth
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(\frac{1}{2})*\sqrt{x^2+x+1}+\frac{2x+1}{2*\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{2x+1}{4} \end{eqnarray*}$

Warum willst du es denn nur mit der Kettenregel machen ?
Mit Produkt und Kettenregel bist du schneller als wenn du noch
ausmultiplizierst.
Die Quotientenregel brauchst du gar nicht : )

Ich würd das oben genannte weiter vereinfachen !

24.08.2004, 21:52

blackearth

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ich will es ja nicht unbedingt mit der ketten regel machen ... das steht in der aufgabe das man das mit der kettenregel ausrechnen soll Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2004, 21:55

BraiNFrosT

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Brauchen tust die sie ja auch auf jeden Fall.....

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24.08.2004, 22:01

blackearth

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ja aber ich hab die Aufgabe so verstanden das man nur die kettenregel benutzen soll.
Und selbst wenn ich die Aufgabe falsch verstanden habe sollte ... interessiert es mich dennnoch Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2004, 22:21

kurellajunior

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Hi,

Ich kann keinen Fehler finden, Du bist nur noch nicht fertig...
$\begin{eqnarray*} f'(x)&=\frac{1}{8}\cdot \left(4x^4+8x^3+9x^2+5x+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot (16x^3+24x^2+18x+5)\\ &=\frac{16x^3+24x^2+18x+5}{8\cdot \left(2x+1\right)\cdot \sqrt{x^2+x+1}} \end{eqnarray*}$
Jetzt musste noch kürzen!!! (Polynomdivision)

Wenn Du keine Idee hast, sag noch mal Bescheid.

Gruß, Jan

24.08.2004, 22:55

Bruce

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Beachte
$\begin{eqnarray*} x^2+x+1 = x^2+2\frac{1}{2}x+1 = (x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
und setze
$\begin{eqnarray*} g(x)=x+\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x+1}=\frac{1}{2}\,g(x)\,\sqrt{g^2(x)+\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\,\sqrt{g^4(x)+\frac{3}{4}\,g^2(x)}. \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe der Kettenregel folgt dann:
$\begin{eqnarray*} F'(x)=\frac{1}{4}\frac{4\,g^3(x)+\frac{3}{2}\,g(x)}{\sqrt{g^4(x)+\frac{3}{4}\,g^2(x)}}. \end{eqnarray*}$

Gruß von Bruce.

25.08.2004, 14:47

blackearth

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Zitat:

Jetzt musste noch kürzen!!! (Polynomdivision)
Wenn Du keine Idee hast, sag noch mal Bescheid.

also ich hätte das selbstständig noch soweit vereinfacht wie du gezeigt hast aber dann hätt ich das warscheinlich stehen lassen

durch welches Polynom soll ich denn Kürzen ?
(x+1/2) ? da käm dann ja nix glattes raus

25.08.2004, 17:20

MisterSeaman

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Doch, eigentlich sollte da was glattes rauskommen. Wenn man in den Zähler nämlich x=-1/2 einsetzt, kommt null raus - durch Polynome der Form
( x - (Nullstelle) ) kann man immer restlos polynomdividieren.

//edit: ich hab für den Zähler von Kurellajunior

$\begin{eqnarray*} (16x^2+16x+10)(x+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

raus.

25.08.2004, 17:55

kurellajunior

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Ne, wieso denn $\begin{eqnarray*} \left( x+\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ? Im Nenner steht doch der Faktor, den es zu kürzen gilt...
$\begin{eqnarray*} f'(x)&=\frac{1}{8}\cdot \left(4x^4+8x^3+9x^2+5x+1\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot (16x^3+24x^2+18x+5)\\ &=\frac{16x^3+24x^2+18x+5}{8\cdot \left(2x+1\right)\cdot \sqrt{x^2+x+1}} \end{eqnarray*}$
also kürzen mit $\begin{eqnarray*} \left(2x+1\right) \end{eqnarray*}$ !
Jetzt klar?

Jan

25.08.2004, 18:49

MisterSeaman

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Ist doch egal... Oder nicht? Ist doch dasselbe! (Bis auf nen Vorfaktor)

25.08.2004, 18:54

kurellajunior

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Hallo seeman,

Warum einfach wenns auch kompliziert geht? Natürlich kannst Du erst noch 1/2 ausklammern um es dann später noch zu kürzen... Du könntest dir auch ein Loch in die Kniescheibe bohren, oder so. :P

Ich bin ja immer für kurze Wege, aber Rom ist Rom. Nur in der Klausur ist das mit der Zeit relevant, oder?

Jan

25.08.2004, 19:01

MisterSeaman

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Naja, 2 ausklammern find ich jetzt nicht so kompliziert, und man sieht "besser", dass -1/2 ne Nullstelle ist...

Ist ja auch egal...

Der Vollständigkeit halber noch, der Zähler hieße mit der anderen Darstellung

$\begin{eqnarray*} (8x^ 2 + 8x +5)*(2x+1) \end{eqnarray*}$

Alles klar?

27.08.2004, 01:21

blackearth

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danke an alle die so schön geholfen haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

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