Wahrscheinlichkeit mit Verteilungsfunktion berechnen

24.11.2015, 15:13	Joni92	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit mit Verteilungsfunktion berechnen Meine Frage: Servus, ich habe folgende Verteilungsfunktion für X gegeben: F(x)=0 falls x<-1 F(x)=1/2 falls -1<=x<0 F(x)=1/2 + x/2 falls 0<=x<=2 F(x)=1 falls x>2 Ich soll jetzt P(X=x) und P(-1<X<2) bestimmen Meine Ideen: P(X=x)=F(x)-limit(F(x-h), h, 0)=0 P(-1<X<2)= limit(F(2-h), h, 0) - F(-1) = limit(F(2-h), h, 0) = 1/2 + 2/4=1 Passt das so?
24.11.2015, 15:36	Joni92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch eine Teilaufgabe dazu: Sei Y=min(X,1) Berechne die Verteilungsfunktion von Y FY(x)=P(Y<=x)=1-P(x<min(X,1))=1-P(x<X)P(x<1)=1-(1-FX(x))P(x<1) Aber was ist denn P(x<1)??
24.11.2015, 15:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessante Rechnung: Du verwendest dabei die Unabhängigkeit der Zufallsgröße $\begin{align} X \end{align}$ von der Konstantzufallsgröße $\begin{align} x \end{align}$ ... kann man machen, da eine Zufallsgröße stets von einer konstanten Zufallsgröße unabhängig ist, trotzdem wirkt es auf mich einigermaßen exotisch. Was $\begin{align} P(x<1) \end{align}$ betrifft: Da musst du Fallunterscheidung betreiben, d.h. $\begin{align} P(x<1) = \begin{cases} 1 &\; \mbox{falls}\; x<1\\ 0 &\; \mbox{falls}\; x\geq 1\end{cases} \end{align}$ . Ich hätte von vornherein diese Fälle betrachtet, statt auf diese gewagte Unabhängigkeitsrechnung zu setzen: 1.Fall $\begin{align} x<1 \end{align}$ : $\begin{align} F_Y(x) = P(\min(X,1)\leq x) = P(X\leq x) = F_X(x) \end{align}$ . 2.Fall $\begin{align} x\geq 1 \end{align}$ : $\begin{align} F_Y(x) = P(\min(X,1)\leq x) = 1 \end{align}$ , da $\begin{align} \min(X,1)\leq 1\leq x \end{align}$ stets erfüllt ist.
24.11.2015, 15:56	Joni92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, deine Rechnung macht in der Tat mehr Sinn Hast du zu meiner ursprünglichen Fragen noch einen Kommentar? Passt das so?
24.11.2015, 16:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} P(X=x) = F(x)- \lim_{h\to +0} F(x-h) \end{align}$ erfasst die "Sprunghöhe" der Verteilungsfunktion $\begin{align} F \end{align}$ an der Stelle $\begin{align} x \end{align}$ . An den Stetigkeitsstellen einer Verteilungsfunktion ist das gleich Null, ja. Deine Verteilungsfunktion ist aber nicht überall stetig - ich rede natürlich von $\begin{align} x=-1 \end{align}$ . Die Rechnung zu $\begin{align} P(-1<X<2) \end{align}$ passt.
24.11.2015, 19:25	Joni92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das ist mir auch schon aufgefallen. Muss man dann eine Fallunterscheidung für x>-1 und <=-1 machen? Mal was anderes. Muss eine Verteilungsfunktion nicht rechtsseitig stetig sein? Ist das für -1 überhaupt gegeben? Wenn ichs richtig weiß, heißt rechtsseitig stetig $\begin{eqnarray} lim_{h->0}F(x+h)=F(x) \end{eqnarray}$ oder?
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24.11.2015, 19:43	Joni92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hat sich erledigt. Natürlich ist die Funktion rechtsseitig stetig.

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