Zyklische Untergruppen erzeugen

24.11.2015, 15:56

jackhightech

Zyklische Untergruppen erzeugen

Meine Frage:
Hallo bräuchte mal eine Erklärung bzw. Hilfe zum erstellen von Untergruppen bei gegebener Verknüpfungstafel
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, welche eine (nicht kommutative) Gruppe G definiert.

Bestimmen Sie die Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , indem Sie $\begin{eqnarray*} (k mod 4) + 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (1\leq a\leq 4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$ .

a) Geben sie die von a erzeugte zyklische Untergruppe <a> von G an.
b) ist die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,a\right\} \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von G?

Meine Ideen:
zu a) Generell hab ich noch im Kopf das man die Untergruppen wie folgt erstellt:
$\begin{eqnarray*} <4> = \left\{ 4^0, 4^1,4^2,4^3,4^4,4^5\right\} =\left\{ 1,4,16,64,256,1024\right\}... \end{eqnarray*}$ , wobei ich meine Schritte von 0-5 durchgehe, und mit den Werten aus der zweiten Menge noch weiter Rechnen muss, um zur erzeugten Untergruppe $\begin{eqnarray*} <4> = \left\{4,0\right\} \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Allerdings hab ich keine Ahnung welche Werte das sind wie wenn anstatt die Verknüpfungstabelle direkt z.b $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z | 5\mathbb Z,+ ) \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Daher meine Vermutung: Ich muss durch die Verknüpfungstabelle darauf schließen. Bisjetzt bin ich nur soweit gekommen, das die Verknüpfung eine Addition sein muss, durch das neutrale Element 0. Wie geht man so etwas systematisch an?

zu b) Ich denke wenn die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,a\right\} \end{eqnarray*}$ , also in meinem Fall $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,4\right\} \end{eqnarray*}$ ist, dann wird es auch eine Untergruppe von G sein, da $\begin{eqnarray*} 4*4\in\left\{ 0,4\right\} \end{eqnarray*}$ sich in der Verknüpfungstabelle eindeutig zuweisen lässt, nämlich mit der 0, welche auch in der Menge ist.

25.11.2015, 11:00

Elvis

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RE: Zyklische Untergruppen erzeugen

Zitat:

Original von jackhightech
Bestimmen Sie die Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , indem Sie $\begin{eqnarray*} (k mod 4) + 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (1\leq a\leq 4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k = 3 \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein unverständlicher Satz. Was willst Du uns damit sagen ?

25.11.2015, 12:05

jackhightech

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RE: Zyklische Untergruppen erzeugen

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Das ist ein unverständlicher Satz. Was willst Du uns damit sagen ?

Habe das mehr oder minder aus der Aufgabenstellung übernommen. Das K war abhängig von der letzten Ziffer der Matrikelnummer. In meinem Fall also 3, und für die Beantwortung der Aufgaben a) und b) ist mein a, mit welchem ich Rechnen sollte folglich:
$\begin{eqnarray*} a=(k mod 4)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (3 mod 4)+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 3 + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = 4 \end{eqnarray*}$

damit ist auch die Bedingung $\begin{eqnarray*} (1\leq a\leq 4) \end{eqnarray*}$ erfüllt und die 4 ist dann a) und b) zu prüfen.

25.11.2015, 12:54

Elvis

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Jetzt ist das klar.

(a) Aus der Gruppentafel hast Du schon richtig erkannt, dass $\begin{eqnarray*} 0+a=a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ gilt, also ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ das neutrale Element. Aus der Gruppentafel sieht man weiter sofort, dass $\begin{eqnarray*} 4+4=0 \end{eqnarray*}$ ist, also ist $\begin{eqnarray*} <4>=\{0,4\} \end{eqnarray*}$ . Mit Potenzen natürlicher Zahlen hat das nichts zu tun. Die Verknüpfung Addition zu nennen ist reine Konvention, die Verknüpfung kann heißen wie sie will und das verwendete Symbol ist völlig beliebig, wichtig ist nur, welche Werte in der Gruppentafel stehen bzw. welchen Wert die Verknüpfung für jedes Paar von Elementen der Gruppe annimmt.

(b) Ja, $\begin{eqnarray*} <4>=(\{0,4\},+) \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe, und zwar die (bis auf Isomorphie) einzige Gruppe mit zwei Elementen. Offensichtlich sind auch $\begin{eqnarray*} <3> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <5> \end{eqnarray*}$ Gruppen mit zwei Elementen, sie unterscheiden sich aber nur durch die Bezeichnung des erzeugenden Elements von einander, man sagt: sie sind isomorph.

25.11.2015, 13:13

jackhightech

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Vielen Dank Elvis! Ich glaube ich habs verstanden. Also wäre z.b $\begin{eqnarray*} a = 2 \end{eqnarray*}$ die erzeugte Untergruppe $\begin{eqnarray*} <2> = \left\{ 2,1,0\right\} \end{eqnarray*}$ , weil in der Verknüpfungstafel $\begin{eqnarray*} 2*2=1 \end{eqnarray*}$ und dann die 1 Betrachtet $\begin{eqnarray*} 1*1=2 \end{eqnarray*}$ ? Und die 0 ist dann halt dabei weil es für die Gruppe die triviale Untergruppe ist?

25.11.2015, 13:25

Elvis

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Ja, mit + statt *, weil Du ganz am Anfang + gewählt hast.

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