Anzahl Elemente in endlichem Körper

24.11.2015, 20:45	Smoenybfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Elemente in endlichem Körper Meine Frage: Hi zusammen 1.) Ich soll zeigen, wie viele Elemente der Vektorraum $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p})^{k} \end{eqnarray}$ hat. Das p ist ja die Potenz einer Primzahl. Gehe ich schon mal richtig davon aus, dass es ein k-dimensionaler Vektorraum ist? 2.) Was bedeutet $\begin{eqnarray} GL_{3}(\mathbb F_{5}) \end{eqnarray}$ ? Also das GL, den endlichen Körper kenne ich. Meine Ideen: 1.) Zur Anzahl Elemente: $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p}) \end{eqnarray}$ hat ja p Elemente. Ein $\begin{eqnarray} p \in (\mathbb F_{p})^{k} \end{eqnarray}$ sollte ja dann so aussehen: $\begin{eqnarray} p=(a_{1}, a_{2}, ... , a_{k}) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} a_{n} \in \mathbb F_{p} ; n=1,...,k \end{eqnarray}$ sein sollten, also wäre die Anzahl Elemente von $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p})^{k}=p^k \end{eqnarray}$ sein müsste. Stimmt das so?
25.11.2015, 10:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Üblicherweise ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl und $\begin{eqnarray} q=p^n \end{eqnarray}$ die Anzahl der Elemente im endlichen Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q=\mathbb F_{p^n} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathbb F_q^k \end{eqnarray}$ ist dnn ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionaler Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_q \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} kn \end{eqnarray}$ -dimensionaler Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \end{eqnarray}$ . Weil Du auch noch $\begin{eqnarray} p\in (\mathbb F_p)^k \end{eqnarray}$ schreibst, wird nicht klar, was Du eigentlich mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ meinst. Ist das nun eine Primzahl oder die Potenz einer Primzahl oder ein Element eines endlichen Körpers ? Es gibt genügend Buchstaben im Alphabet, um diese Aufgabe eindeutig zu formulieren. Das musst Du zunächst einmal tun, dann wird bestimmt alles viel einfacher. Zur Definition von $\begin{eqnarray} GL_n(K) \end{eqnarray}$ siehe z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Allgemeine_lineare_Gruppe
25.11.2015, 12:00	Smoenybfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, das ist wirklich schlecht gewählt. Eigentlich habe ich ein Element c aus diesem $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p})^{k} \end{eqnarray}$ gemeint. Und wenn der Vektorraum so steht wie oben (also $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p})^{k} \end{eqnarray}$ ), ist ja wie du es geschrieben hast n=1 und p=q, also hat $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p})^{k} \end{eqnarray}$ p Elemente. Dann wäre also mein Ansatz so: $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p}) \end{eqnarray}$ hat ja p Elemente. Ein $\begin{eqnarray} c \in (\mathbb F_{p})^{k} \end{eqnarray}$ sollte ja dann so aussehen: $\begin{eqnarray} c=(a_{1}, a_{2}, ... , a_{k}) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} a_{t} \in \mathbb F_{p} \ ; \ t=1,...,k \end{eqnarray}$ sein sollten (in jeder Dimension also p Elemente), also müsste die Anzahl Elemente von $\begin{eqnarray} (\mathbb F_{p})^{k}=p^k \end{eqnarray}$ sein. Stimmt das so?
25.11.2015, 12:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der 2. Zeile muss am Ende stehen "... also hat $\begin{eqnarray} \mathbb F_p \;p \end{eqnarray}$ Elemente." Alles andere ist völlig richtig.
25.11.2015, 12:26	Smoenybfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, blöder Copy-Paste-Fehler Danke für deine Hilfe

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