Verallgemeinerung von Hyperoperatoren

25.11.2015, 09:21	Bierdeckel	Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerung von Hyperoperatoren Mit Hilfe von [URL=https://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation]Knuth's Pfeilnotation[/URL] lässt sich eine unendlich lange Sequenz von Rechenoperationen (Addition, Multiplikation, Exponentation, ....) definieren. $\begin{eqnarray} \begin{matrix} a \uparrow^m b & = & \underbrace{a \uparrow^{m-1} (a \uparrow^{m-1} (a \uparrow^{m-1} (...(a \uparrow^{m-1} (a \uparrow^{m-1} a))...)))} \\ & & b\mbox{ copies of }a \end{matrix} \end{eqnarray}$ Dabei wird eine höhere Rechenoperation rekursiv durch die nächst niedere definiert. Also Exponentation auf Multiplikation und Multiplikation auf Addition zurückgeführt. So weit so gut. Jetzt meine Frage: Durch die Rekursion sind nur Operationen mit einer ganzzahligen Anzahl von Pfeilen erlaubt. Also $\begin{eqnarray} m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ fixiert. Ich würd dieses $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ aber gern in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ oder noch besser in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ oder gar in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sehen. Quasi um ein Mittelding zwischen Addition und Multiplikation zu erhalten. So weit ich das einschätzen kann wäre eine solche Operation durchaus interessant. So müsste das Kommutativgesetz implizit auftauchen da Operationen bis Stufe 2 (Adiition und Multiplikation) kommutativ sind, alle späteren aber nicht. Ähnliches gilt für Assoziativität bzw Distributivität. Wie könnte so eine Operation aussehen? In welches Teilgebiet würde das Fallen? Was sind offensichtliche Eigenschaften die ich übersehen habe? Hat jemand Links die hierzu interessant sind? Oder gar research paper? Vielen Dank.

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