Konstante bestimmen, damit f Wahrscheinlichkeitsdichte wird

25.11.2015, 12:58	Joni92	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstante bestimmen, damit f Wahrscheinlichkeitsdichte wird Meine Frage: Servus, ich habe eine Funktion f gegeben durch: $\begin{eqnarray} cexp(- \lambda * x)(1-exp(-\lambda x)) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x<=0 \end{eqnarray}$ Ich muss jetzt c so bestimmen, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte wird. Meine Ideen:* Damit f Wahrscheinlichkeitsdichte wird muss gelten: $\begin{eqnarray} f(x)>=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty \! f(x) \, \mathrm{d}x =1 \end{eqnarray}$ Aus der ersten Bedingung folgt schnell, dass c>=0 sein muss Bei der zweiten Bedingung komm ich überhaupt nicht weiter.. $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty \! f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^0 \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{0}^\infty \! f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{0}^\infty \! f(x) \, \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Hier schaff ich es nicht das uneigentliche Integral zu bestimmen.. Ich komme bis $\begin{eqnarray} lim_{k->\infty}\frac{cexp(-2\lambdak)(1-2exp(\lambdak))}{2\lambda} \end{eqnarray*}$ Und jetzt?
08.12.2015, 23:24	Joni92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konstante bestimmen, damit f Wahrscheinlichkeitsdichte wird Das Thema ist zwar eigentlich schon durch. Ich habs allerdings noch nicht kapiert. Also besteht noch Interesse
08.12.2015, 23:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wir sind bei $\begin{align} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) ~ \dd x &= c\cdot \int\limits_0^{\infty} e^{-\lambda x}\cdot \left(1-e^{-\lambda x}\right) ~ \dd x = c\cdot \int\limits_0^{\infty} \left(e^{-\lambda x}-e^{-2\lambda x}\right) ~ \dd x \\ &= \frac{c}{2\lambda} \cdot \lim_{k\to\infty} \left[ -2e^{-\lambda x}+e^{-2\lambda x}\right]_{x=0}^k = \frac{c}{2\lambda} \cdot \lim_{k\to\infty} \left( -2e^{-\lambda k}+e^{-2\lambda k} + 2 - 1\right) = \frac{c}{2\lambda} \end{align}$ Es scheint so, als hast du schlicht vergessen, die untere Integralgrenze x=0 in die Stammfunktion einzusetzen.

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