Gewinnauszahlung im Verhältnis zur Plazierung

25.11.2015, 13:39

realando

Gewinnauszahlung im Verhältnis zur Plazierung

Meine Frage:
Hallo.

ich habe hier ein kleines Problem mit einer Aufgabe. Ein Jackpot soll ausgezahlt werden, dabei soll der 1. Platz mehr bekommen als der 2. Der 2. Platz bekommt mehr als der dritte usw.

Wie berechne ich den Prozentwert, welcher Spieler wieviel bekommt bei einem Szenario von 500 Gewinneren bei einer Auszahlung von 100% des Gesamtbetrages. Oder anders formuliert, wie errechne ich den Anteil jeden Gewinners. Leider weiß ich nicht wie man das ausrechnet eventuell kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen wie ich da ran gehen muss?

Meine Ideen:
Ich habe mal ein Resultat in Excel erstellt.

25.11.2015, 14:19

gast2511

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gewinnauszahlung im Verhältnis zur Plazierung
Warum ist bei dir die Anzahl der ranks abhängig von der Anzahl der player ?
Warum gibt es z.B. bei 3-19 player nur 3 ranks ?
Ich habe Probleme, mir den genauen Sachverhalt richtig vorzustellen. verwirrt

25.11.2015, 14:33

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gewinnauszahlung im Verhältnis zur Plazierung
Willkommen im Matheboard!

Dein Problem ist in der Tat nicht ganz einfach zu lösen. Nehmen wir mal zur Vereinfachung an, dass von den 500 Gewinnern 100 etwas bekommen und dass der erste 25 Prozent erhält.

Nun wäre ein sinnvoller Ansatz, dass die nächsten Gewinner immer um ein bestimmtes festes Verhältnis weniger bekommen, sonst wird es recht unmathematisch. So kann man nämlich eine geometrische Reihe aufstellen:

$\begin{align*} a_{n+1} = a_{n} \cdot q \end{align*}$

Und nun schlägt man die Formel für die Partialsumme nach:

$\begin{align*} s_n = a_1 \cdot \frac {1-q^n}{1-q} \end{align*}$

Das heißt mit unseren Zahlen:

$\begin{align*} 100 = 25 \cdot \frac {1-q^{100}}{1-q} \end{align*}$

Nun kann man diese Gleichung leider nicht einfach nach q umstellen. Man muss die Lösung sozusagen "suchen". Es gibt dafür einige Verfahren, das bequemste ist, einfach in den Graphen reinzuzoomen:

Und so weiter. So ergibt sich in etwa q=0,75. Und die Summe ist dann tatsächlich 100, probier's mit Excel aus.

Wenn Du andere Zahlen nehmen willst als 25 und 100, nur zu.

Viele Grüße
Steffen

25.11.2015, 16:12

realando2

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort. Scheint doch komplizierter zu sein als gdacht.

Das dass ganze nur durch “suchen” lösbar ist, ist schlecht für mich.
Hier mal ein paar mehr infos. Das ganze soll in einer Computer Simulation laufen. Das Programm nimmt einige Feste werte zur Berechnung.

Sprich ich gebe ein, wieviele Teilnehmer ich habe, wie hoch der Jackpot ist und wieviel davon gewinnen.

Gegeben:
* Teilnehmer: 500
* Gewinner: 100 (20%)
* Jackpot: 10 000 EUR

Nun müsste ich mit deiner Lösung für jedes Szenario eine Geometrische Reihe aufstellen um das Abfall Verhältnis zu “suchen”. Hier für bräuchte ich eine andere Lösung, falls möglich, damit ich das in einen Algorithmus formulieren kann.
Da die Eingaben Variable sind muss ich das irgendwie ausrechnen.

Mal eine andere Frage, was müsste denn alles gegeben sein um unser Abfall Verhältnis ohne eine Geometrische Reihe zu ermitteln, oder geht das garnicht?

Oder einfach mal anders gefragt. Was sind denn gängige Auszahlungsvorgänge? Jedes Spielsystem was mehre Gewinner (Prozentual zur Spielermenge) auszahlen will wobei Platz 1 mehr bekommt als Platz 2 steht ja vor dem selben Problem. Eventuell gehe ich das Problem auch total falsch an.

Cheers.

25.11.2015, 16:36

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von realando2
Hier für bräuchte ich eine andere Lösung, falls möglich, damit ich das in einen Algorithmus formulieren kann.
Da die Eingaben Variable sind muss ich das irgendwie ausrechnen.

Ich hab währenddessen auch etwas nachgedacht und eine Möglichkeit gefunden:

Es ist nämlich $\begin{align*} 25 \cdot \frac {1-q^{100}}{1-q} \approx 25 \cdot \frac {1}{1-q} \end{align*}$ , weil $\begin{align*} q^{100} \approx 0 \end{align*}$ . Denn q ist ja kleiner als 1 und verschwindet (fast), wenn man es hoch 100 nimmt.

Somit lässt sich die Gleichung $\begin{align*} 100 = 25 \cdot \frac {1}{1-q} \end{align*}$ dann netterweise doch recht bequem nach q umstellen.

EDIT: Das geht natürlich nur für eine genügend hohe Anzahl von Gewinnern. Bei weniger als 20 wird der Fehler zu groß. Falls Du hier dennoch Lösungen brauchst, würde ich mit dem Newton-Verfahren arbeiten, das ist schnell programmiert.

Was Du aber nach wie vor brauchst, ist die Entscheidung, wieviel Prozent vom Jackpot der erste bekommen soll! Diese Zahl ist in Deiner Tabelle ja auch abhängig von der Anzahl der Spieler. Bei 3 Spielern ist sie 50%, bei 99 nur noch 26%. Was da realistisch ist, kann ich nicht beurteilen. Man könnte ja auch sagen, der erste bekommt immer 50% vom Jackpot, der Rest verteilt sich dann auf die anderen. Scheint aber nicht üblich zu sein.

Zitat:

Original von realando2
was müsste denn alles gegeben sein um unser Abfall Verhältnis ohne eine Geometrische Reihe zu ermitteln, oder geht das garnicht?

Die Tabelle, die Du zeigst, scheint "von Hand" geschrieben zu sein, ich kann mir nicht vorstellen, dass da irgendein Algorithmus dahintersteckt. Wenn man die Prozentwerte aber mal in Excel einträgt, sieht man, dass sie sich logarithmisch gut fitten lassen, somit scheint das Verhältnis von Stufe zu Stufe in der Tat ein (mehr oder weniger) konstanter Faktor zu sein. Das wiederum ist genau die Definition einer geometrischen Reihe.

Zitat:

Original von realando2
Was sind denn gängige Auszahlungsvorgänge?

Damit kenne ich mich leider überhaupt nicht aus. Vielleicht jemand anders hier, vielleicht auch in einem Spieleforum.

Viele Grüße
Steffen

25.11.2015, 20:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht auch erstmal generell die Rahmenbedingungen festlegen:

Ich stell mir das so vor, dass jeder der $\begin{align*} n \end{align*}$ Spieler denselben Einsatz leistet, und ein fester (d.h. von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängiger) Anteil dieser Einsatzsumme - vielleicht auch alles - zur Auszahlung gelangt. Wenn nun $\begin{align*} f_n(m) \end{align*}$ der Anteil der Ausschüttungssumme sei, den der $\begin{align*} m \end{align*}$ -platzierte Spieler bekommt, dann würde ich nicht nur

$\begin{align*} f_n(m) \geq f_n(m+1) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 1\leq m<n \end{align*}$

fordern, sondern auch

$\begin{align*} (n+1)f_{n+1}(m) \geq nf_n(m) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq m \end{align*}$ .

Der Gedanke dahinter ist, dass mit wachsender Teilnehmerzahl und konstant bleibenden Einsatz pro Teilnehmer derselbe Platz $\begin{align*} m \end{align*}$ einen immer höheren absoluten (!) Gewinn erbringen sollte, wenn $\begin{align*} n \end{align*}$ wächst.

Soweit erstmal die m.E. nach nicht verhandelbaren Forderungen an ein solches Auszahlungssystem. Desweiteren würde ich vorschlagen - diesmal verhandelbar - dass die Gewinne (zumindest die hohen) langsamer als $\begin{align*} O(n) \end{align*}$ wachsen - sowas wie $\begin{align*} O(\sqrt{n}) \end{align*}$ liegt vielleicht ganz nahe. verwirrt

Da hat dann bei dem hier bisher (und auch von mir) favorisierten geometrischen Auszahlungssystem zur Folge, dass $\begin{align*} q \end{align*}$ monoton wachsend in $\begin{align*} n \end{align*}$ ist - was ganz im Sinne einer breiteren Gewinnbeteiligung bei immer größeren $\begin{align*} n \end{align*}$ ist. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Gewinnauszahlung im Verhältnis zur Plazierung

Verwandte Themen