Beweis einer binomischen Ungleichung

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25.11.2015, 14:54	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer binomischen Ungleichung Hallo, Ich möchte gerne folgendes zeigen: $\begin{eqnarray} (1-\frac{x}{n})^n \leq (1-\frac{x}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in [0,\infty], n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ Ich habe es mit der Leibnizformel versucht: $\begin{eqnarray} (1-\frac{x}{n})^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}(-\frac{x}{n})^n 1^{n-k} \leq \sum\limits_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}(-\frac{x}{n+1})^{n+1} 1^{n+1-k}=(1-\frac{x}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}(-\frac{x}{n})^n \leq \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}(-\frac{x}{n+1})^{n+1} + (-\frac{x}{n+1})^{n+1} \end{eqnarray}$ Allerdings komme ich hier nicht mehr weiter. Vorallem der Binominalkoeffizient stört mich extrem. Ich kenne folgende Identität: $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} \end{eqnarray}$ Ich weiss aber nicht, wie ich das nützten könnte.
25.11.2015, 15:13	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer binomischen Ungleichung Das wird schwierig, denn ist n gerade, dann haut es z.B. für x=n+1 nicht hin.
25.11.2015, 15:22	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer binomischen Ungleichung Hallo Matt Eagle, Ich möchte eigentlich $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{0}^n \frac{(1-\frac{x}{n})^n}{\sqrt{x}} dx \end{eqnarray}$ ausrechnen und wollte den Satz von der monotonen Konvergenz anwenden. Jedoch geht das nur, wenn $\begin{eqnarray} \frac{(1-\frac{x}{n})^n}{\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ eine aufsteigende Funktionenfolge ist. Wenn das hier nicht der Fall ist, wie kann ich dann den Grenzwert vertauschen?
25.11.2015, 15:57	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer binomischen Ungleichung Na ja, für die Anwendbarkeit des Satzes reicht es ja wenn die $\begin{eqnarray} f_n~\mu \end{eqnarray}$ -fast überall, monoton wachsend gegen f konvergieren.
25.11.2015, 16:41	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis einer binomischen Ungleichung Hallo Matt Eagle, Ich weiss, dass wenn die Menge auf der $\begin{eqnarray} f_n \geq f_{n+1} \end{eqnarray}$ gilt das Mass $\begin{eqnarray} \mu=0 \end{eqnarray}$ hat, die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -fast überall monoton wachsend ist. Ich verstehe aber nicht genau, wie ich das zeigen sollte. Liegt hier die Begründung darauf, dass wir die Funktionenfolge über den natürlichen Zahlen definieren?
25.11.2015, 23:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiele wie die von Matt Eagle kannst du verhindern, indem du die Behauptung so geeignet einschränkst, dass sie richtig ist und für deine Belange immer noch reicht: Für $\begin{align} n\geq x \end{align}$ gilt sie nämlich, und ist unter Nutzung der Bernoullischen Ungleichung nachweisbar.
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26.11.2015, 14:05	BaguetteIntegral	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe folgendes gemacht. Wir wollen zeigen: $\begin{eqnarray} f_n(x)< f_{n+1}(x) \end{eqnarray}$ es genuegt: also $\begin{eqnarray} \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}>1 \end{eqnarray}$ zu zeigen. Rechne nach. Nach etlichen muehsehligen Umformungen kommt man auf $\begin{eqnarray} \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}=\left(1-\frac{x}{n}\right)\cdot \left( 1+\frac{x}{(n+1)(n-x)}\right)^{n+1} \end{eqnarray}$ da x immer kleiner gleich n ist, kann man dies mit Bernoulli abschaetzen und zeigen das dies groesser gleich 1 ist. soviel dazu. Nun kann man grenzwert und integral vertauschen. doch wie berechnet man die Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx \end{eqnarray}$ ??? mfg BaguetteIntegral
26.11.2015, 17:29	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Um eine Stammfunktion zu finden kannst du so vorgehen: Substituiere $\begin{eqnarray} u=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ .Wir erhalten mit $\begin{eqnarray} dx=2u\dd u \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} I=\int \frac{1}{\sqrt{x}}e^{-x} \dd x=\int \frac{1}{u}e^{-u^2}2u \dd u=2\int e^{-u^2} \dd u \end{eqnarray}$ Du erhältst nach Resubstitution die Stammfunktion: $\begin{eqnarray} I=\sqrt{\pi}erf(\sqrt{x}) \end{eqnarray}$ Dafür benötigst du allerdings Wissen über die gaußsche Fehlerfunktion. Mit $\begin{eqnarray} erf(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} erf(\infty)=1 \end{eqnarray}$ ist dein bestimmtes Integral nur noch ein Kinderspiel.
26.11.2015, 17:34	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht ist ja die Gammafunktion bekannt... $\begin{eqnarray} \sqrt{\pi}=\Gamma\left(\frac 12\right)=\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}~\dd x. \end{eqnarray}$

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