Basis und Erzeugendensystem

25.11.2015, 15:34

Martell

Basis und Erzeugendensystem

Meine Frage:
Mal ne blöde Frage:
Mir ist der Begriff Basis und Erzeugendensystem nicht ganz klar

ich hab eine Menge von Vektoren: $\begin{eqnarray*} \left\{ e_{1}+e_{2},...,e_{n-1}+e_{n} \right\} \end{eqnarray*}$

Also Allgemein:
Ich muss schauen ob ich alle Vektoren mit der Menge darstellen kann.
Wenns geht dann ist es ein erzeugendensystem + lin unabhängig dann eine Basis ?

Meine Ideen:
ich kann ja z.B. den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0\\... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht als Linearkombination darstellen.
Damit zeige ich dass die Menge keine Basis ist. Ist die Menge dann automatisch auch kein Erzeugendensystem ?

25.11.2015, 16:04

klarsoweit

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RE: Basis und Erzeugendensystem

Zitat:

Original von Martell
Ich muss schauen ob ich alle Vektoren mit der Menge darstellen kann.

Vermutlich meinst du mit "alle Vektoren" alle Vektoren des R^n? verwirrt

Zitat:

Original von Martell
Wenns geht dann ist es ein erzeugendensystem + lin unabhängig dann eine Basis ?

Ja.

Zitat:

Original von Martell
Damit zeige ich dass die Menge keine Basis ist. Ist die Menge dann automatisch auch kein Erzeugendensystem ?

Offensichtlich ja, wenn es einen Vektor gibt, der nicht mit den Vektoren aus der Menge dargestellt werden kann.

25.11.2015, 16:47

Martell

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ja ich meinte im R^n

danke für die Antwort das hilft weiter smile

25.11.2015, 23:27

crushiii

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Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein n-dimensionaler Vektorraum.
Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so dass gilt
$\begin{eqnarray*} V = <v_1, ... , v_m> \end{eqnarray*}$ . Dabei ist es erstmal unerheblich, was mit linearer Unabhängigkeit ist. Du kannst sogar beliebig viele weitere Vektoren in das Erzeugendensystem stecken und es bleibt trotzdem eines.
Nimmst du aus diesem System dann immer weiter Vektoren raus, bis du nur noch $\begin{eqnarray*} <v_1, ... , v_n> \end{eqnarray*}$ hast und sind diese linear unabhängig, dann nennst du das eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .
Diese Basis ist natürlich nicht die einzige, sondern jedes linear unabhängige Erzeugendensystem bildet eine Basis des Vektorraums!
Also ist eine Basis ein minimales Erzeugendensystem oder eine maximale linear unabhängige Menge von Vektoren, die den Vektorraum erzeugen. Nehme einen Vektor aus der Basis raus, dann ist es kein Erzeugendensystem mehr. Füge einen Vektor hinzu und es gilt keine lineare Unabhängigkeit mehr.

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