Integral

25.11.2015, 21:56

Baguette-integral

Integral

Meine Frage:
Hallo Leute. Folgende Aufgabe:

Berechne $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\int_0^n\frac{(1-\frac{x}{n})^n}{\sqrt{x}}dx. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nunja erstmal hab ich das in Wolframalpha eingegeben. Das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ . Danach hab ich mir ueberlegt, welches Integral das wohl sein koennte. $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ . Das hilft aber nicht wirklich weiter. Schliesslich ist ja der Loesungsweg und nicht die Loesung an sich interessant. Ich hab dann versucht, zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = (1-\frac{x}{n})^n \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist. Dachte ich koennte - wenn ich das Schaffen wuerde - monotone Konvergenz anwenden, also sprich Integral und Grenzwert vertauschen. Aber auch wenn ich Grenzwert und Integral einfach so mal vertausche (ohne die Voraussetzungen zu ueberpruefen) so komme ich auf ein Integral zu welchem ich keine Stammfunktion berechnen kann. unglücklich

Irgendwelche Tipps?

mfg

25.11.2015, 23:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Baguette-integral
Ich hab dann versucht, zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = (1-\frac{x}{n})^n \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

Bezüglich welcher Variablen? verwirrt

Jedenfalls ist $\begin{align*} n\mapsto f_n(x) \end{align*}$ bei festem $\begin{align*} x \end{align*}$ monoton wachsend, zumindest für alle $\begin{align*} n>x \end{align*}$ , siehe hier (vielleicht ein Kommilitone Augenzwinkern

) .

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