Parameter eines Punktes bestimmen damit =d

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morgenistdieprüfung Auf diesen Beitrag antworten »
Parameter eines Punktes bestimmen damit =d
Meine Frage:
Hi,

gegeben ist folgende Aufgabe:
"Bestimmen Sie alle Werte des Parameters a, so dass der Punkt P(3|a|0) den Abstand d = 2 zur Geraden g hat."

Wie genau komme ich da jetzt auf das a?

Meine Ideen:
Ich habe das ganze wie folgt versucht zu lösen.
Die Abstandsformel für Punkt und Gerade habe ich mit

gegeben.
Dort habe ich dann alle Werte eingesetzt und das ganze versucht nach a zu lösen.
für r = (3,-2,2), für p (3,a,0) und für a (-1,-4,2).
Komme da aber auf 0,41 für a. Das eingesetzt ergibt dann aber nicht d=2 ...
Wo mache ich da einen Fehler? Oder ist der Ansatz bereits schon falsch?

Freue mich auf jeden Tipp!
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du mit dem Vektorprodukt?

Jeder Punkt auf der Geraden hat die Form:



Der Vektor von P auf die Gerade hat die Form:



Jetzt suchst du einen Punkt auf der Geraden von dem aus der Vektor zum Punkt P orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden ist. Du musst also das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden mit dem Vektor vom Punkt P zum Punkt L auf der Geraden berechnend es null setzen. Dann musst du a so bestimmen, dass der Lotvektor von P auf die Gerade den Betrag 2 hat.
morgenistdieprüfung Auf diesen Beitrag antworten »

Das Vektorprodukt habe ich entsprechend der Formel einfach ausgeschrieben/berechnet.
Bei mir kam über dem Bruchstrich bei der d-Formel dann:

Als Betrag ausgeschrieben kam ich dann auf:
woraus bei mir dann wurde.
Damit hatte ich dann weiter nach a aufgelöst und kam entsprechend auf mein a= 0,41 ...

Ist das jetzt von Grund auf falsch gedacht oder schlicht verrechnet?
Dein Text erklärt ja im Grunde nur die Formel, die ich nutze, wenn ich das richtig verstanden habe.
morgenistdieprüfung Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich habe den Fehler gefunden:
Hatte die Klammern falsch/gar nicht ausmultipliziert beim Berechnen des Vektorprodukts. Entsprechend komme ich jetzt auf eine Lösung von:
was ausgeschrieben in etwa -2,38838 entspricht.
Das eingesetzt kommt auf rund 1,99(...) was ja im Grunde dem gegebenen d von 2 entspricht. Falls das jetzt nicht purer Zufall war.
Vllt. kann das ja jemand bestätigen, damit ich weiß, dass der Lösungsweg so richtig ist smile
sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es auch mit dem Vektorprodukt lösen. Der Hintergrund ist der, dass du die Parallelogrammfläche, die der Richtungsvektor der Geraden und der Vektor vom Punkt P auf die Gerade auf 2 Arten berechnen kannst. Es ist einerseits der Betrag des Vektorprodukts, andererseits aber auch der Betrag des Richtungsvektors multipliziert mit dem Punktabstand ( das ist deshalb so, weil der Punktabstand die Höhe im Parallelogramm bildet)
Deshalb ist deine Formel auch richtig. Das Vektorprodukt lässt sich aber schwieriger berechnen. Deshalb mein Vorschlag mit dem Skalarprodukt.
morgenistdieprüfung Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hatte deine Ausführung falsch verstanden, deshalb war mir erst nicht ganz klar gewesen, worauf du hinaus wolltest Tanzen
Ich hoffe einfach mal, dass mein Ergebnis jetzt einfach richtig gerechnet war.
 
 
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