Fourierreihe einer L^1-Funktion

26.11.2015, 15:25	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihe einer L^1-Funktion Hallo, gegeben ist eine $\begin{eqnarray} L^1(\partial\mathbb{D}) \end{eqnarray}$ -Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit reeller Fourierreihe $\begin{eqnarray} \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty \left(a_k\cos kx + b_k\sin kx\right) \end{eqnarray}$ . Es ist bekannt, dass diese Fourierreihe endliche $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ -Norm hat. Kann ich dann darauf schließen, dass diese Reihe gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert bezüglich der $\begin{eqnarray} L^2 \end{eqnarray}$ -Norm? Ich habe leider kein Resultat finden können, das dies beweist, aber auch kein Gegenbeispiel, da ich mir recht schwer tue, überhaupt geeignete Suchbegriffe zu finden. Wäre daher für jegliche Ideen dankbar.
27.11.2015, 05:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fourierreihe einer L^1-Funktion Nach dem Satz von Fischer-Riesz (Link) zur Theorie der Fourierreihen ist es äquivalent zu fragen, ob $\begin{eqnarray} f \in L^2 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} g = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty \left(a_k\cos kx + b_k\sin kx\right) \in L^2 \subset L^1 \end{eqnarray}$ . Es folgt, dass $\begin{eqnarray} f - g \end{eqnarray}$ sich zur Nullreihe in Fourier entwickelt, und aus Eindeutigkeit der Fourierentwicklung für $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Funktionen folgt $\begin{eqnarray} f = g \end{eqnarray}$ fast überall. Da $\begin{eqnarray} g \in L^2 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} f \in L^2 \end{eqnarray}$ und nun folgt Konvergenz mit Fischer-Riesz. (Geht vermutlich auch einfacher)
27.11.2015, 13:18	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, die $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ -Eindeutigkeit der Fourierreihen hatte ich irgendwie nicht auf dem Schirm. Vielen Dank!
27.11.2015, 16:41	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, mag sein, dass das eine dämliche Frage ist, aber wie sieht man, dass die $\begin{eqnarray} a_k,b_k \end{eqnarray}$ die Fourierkoeffizienten von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sind? Wenn ich versuche, das zu zeigen, muss ich das Integral mit der Reihe vertauschen und dafür brauche ich eine gemeinsame Majorante an die Partialsummen. Diese sehe ich aber nicht, weil die $\begin{eqnarray} a_k,b_k \end{eqnarray}$ , ja nicht in $\begin{eqnarray} l^1 \end{eqnarray}$ liegen müssen. Kann gut sein, dass ich etwas übersehe und es ganz einfach geht.
27.11.2015, 16:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Guter Punkt. Die Aussage klang für mich so plausibel, dass ich sie gar nicht in Frage gestellt habe...
27.11.2015, 18:26	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mag sein, dass ich die Frage falsch verstehe, aber folgt das nicht aus Cauchy-Schwarz $\begin{eqnarray} <g-g_n,\phi_k>_{L^2}\ \leq\ \\|g-g_n\\|_{L^2} \ \\|\phi_k\\|_{L^2} \end{eqnarray}$
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