Konvergenz oder Divergenz

26.11.2015, 16:06	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz oder Divergenz ich habe die Folge $\begin{eqnarray} ((3+4i+\frac{1-i}{2n})^7-1)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ gegeben. Wie zeige ich in diesem Fall Konvergenz oder Divergenz?
26.11.2015, 16:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz oder Divergenz Bestimme erst mal Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl.
26.11.2015, 16:15	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mich verschrieben. Es sollte $\begin{eqnarray} ((3+4i+\frac{1-i}{2n})^7-1)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ sein
26.11.2015, 16:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, was sich geändert hat, aber eigentlich kannst du doch einfach n gegen unendlich laufen lassen.
26.11.2015, 16:32	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
hoch 7 hat sich geändert
26.11.2015, 16:36	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Mit den Grenzwertregeln kannst du einfach den Grenzwert in die Klammer ziehen. (Das wäre besser auch die Antwort in meinem 1. Beitrag gewesen. Ich hatte da etwas zu kompliziert gedacht. )
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26.11.2015, 16:46	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst, dass ich nur den Grenzwert der Klammer betrachte?
26.11.2015, 16:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das Ganze dann noch mit 7 potenzieren, wobei dir die Polarform des Grenzwerts hilft.
26.11.2015, 18:09	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} 3+4i+ \frac{1-i}{2n} = (3+\frac{1}{2n} + 0i) + (0 + i(4-\frac{1}{2n})) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|3+0i - (3+\frac{1}{2n} + 0i)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n} < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|0+4i - (0 + i(4-\frac{1}{2n}))\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n} < \epsilon \end{eqnarray}$ und daraus folgt, dass die Folge gegen $\begin{eqnarray} ((3+4i)^7-1) \end{eqnarray}$ konvergiert
27.11.2015, 08:35	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Epsilon-Verfahren ist das etwas umständlich und auch unnötig, denn die Grenzwertsätze für reelle Folgen gelten auch für komplexe Folgen. Also einfach schreiben: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (3+4i+ \frac{1-i}{2n})^7 = \left( \lim_{n \to \infty} (3+4i+ \frac{1-i}{2n}) \right)^7 = (3+4i + 0)^7 = (3+4i)^7 \end{eqnarray}$ Und wie ich schon sagte, kannst du $\begin{eqnarray} (3+4i)^7 \end{eqnarray}$ mittels der Polarform noch etwas vereinfachen.
27.11.2015, 14:07	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
verstanden. Danke nochmal

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