Beweis zu Mittelwerten(gleichgroße Merkmalsausprägungen)

26.11.2015, 16:23	AnonAlex91	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Mittelwerten(gleichgroße Merkmalsausprägungen) Hallo zusammen, also ich bin Studienanfänger und komme noch nicht so ganz klar mit der Mathematik(hatte eine längere Pause nach dem Abitur) und da habe ich gehofft, dass ihr mir bei einer Aufgabe Hilfestellung bzw Ansätze geben könnt. Ich glaube, dass das ein ziemlich einfacher Beweis ist, ich habe aber keine Ideen mehr. Also es gilt zu zeigen, dass x harm. = x geo. = x arith. <=> x1=....=xn gilt. (1,...,n sind hierbei Indizes und nicht x1 oder xn / habe das im Formeleditor leider nicht gefunden) Ich habe mir gedacht, dass "x1=....=xn" bedeutet, dass ich die Ungleichung der 3 Mittel auch so ausdrücken kann: $\begin{eqnarray} \frac{n}{\frac{n}{x1} } \leq \sqrt[n]{x1^{n} } \leq \frac{x1n}{n} \end{eqnarray*}$ Dann steht da x1=x1=x1 Damit wäre doch dann gezeigt, dass "x harm. = x geo. = x arith" gilt bei "x1=....=xn" Wie zeig ich das jetzt in die andere Richtung? Also sozusagen dass, "x1=...=xn" gilt bei "x harm. = x geo. = x arith" Sorry aber bin ein echter Noob , hoffentlich könnt ihr mir ein bisschen die Augen öffnen.
26.11.2015, 18:45	AnonAlex91	Auf diesen Beitrag antworten »
Vllt ist das nicht ganz nachvollziehbar es soll gelten "x1=...=xn" für xi, mit i=1,..,n DIe Mittel sind ja x harm = $\begin{eqnarray} \frac{n}{\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{xi} } \end{eqnarray}$ x geo = $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{x1\cdot x2 \cdot ... \cdot xn} \end{eqnarray}$ x arith = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot xi \end{eqnarray}$ Die Ungleichung der Mittel $\begin{eqnarray} \frac{n}{\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{xi} } \leq \sqrt[n]{x1\cdot x2 \cdot ... \cdot xn} \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot xi \end{eqnarray}$ Ich soll zeigen, dass x harm = x geo = x arith <=> x1=...=xn gilt. x1=...=xn impliziert, dass ich x harm = $\begin{eqnarray} \frac{n}{\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{xi} } = \frac{n}{\frac{1}{x1} \cdot n } \end{eqnarray}$ x geo = $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{x1\cdot x2 \cdot ... \cdot xn} = \sqrt[n]{x1^{n} } \end{eqnarray}$ x arith = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot xi = \frac{1}{n} \cdot x1 \cdot n \end{eqnarray}$ auch so ausdrücken kann und somit entstand die Ungleichung im ersten Post. Was kann ich jetzt damit zeigen und wie führe ich den Beweis in beide Richtungen zu Ende?

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