Abbildung auf Norm überprüfen

26.11.2015, 17:13

s_punkt

Abbildung auf Norm überprüfen

Hallo, ich hab folgende Aufgabe:
Man zeige, dass folgende Abbildungen $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_{i}:\mathbb{R}^{2}\Rightarrow \mathbb{R}, i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ keine Normen sind $\begin{eqnarray*} (x:=(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}) \end{eqnarray*}$ für: $\begin{eqnarray*} ||x||_{2}:=|x_{1}|\cdot|x_{2}| \end{eqnarray*}$

Mir fehlt bei der Aufgabe komplett der Ansatz unglücklich

26.11.2015, 17:18

10001000Nick1

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Wie ist denn eine Norm definiert? Du musst zeigen, dass (mindestens) eine der Eigenschaften hier nicht erfüllt ist.

27.11.2015, 07:12

s_punkt

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Als erstes muss man ja zeigen, ob die Norm die Definitheit erfüllt:
$\begin{eqnarray*} ||x||_{2} = 0 \leftrightarrow x = 0 <br /> \\<br /> x=0 \Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 = 0 \\ x_2 = 0 \\ \end{pmatrix} =\vec{0}<br /> \\<br /> ||x||_2 = |0| \cdot |0| = 0 \end{eqnarray*}$ und das würde ja stimmen.

Die absolute Homogenität würde ja auch stimmen:
$\begin{eqnarray*} ||\alpha x||_{2} = \alpha (|x_1|\cdot |x_2|) = |x_1\alpha|\cdot|x_2\alpha| = \begin{pmatrix} \alpha x_1 \\ \alpha x_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mit der Dreiecksungleichung komme ich hier nicht klar.

27.11.2015, 09:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von s_punkt
Als erstes muss man ja zeigen, ob die Norm die Definitheit erfüllt:
$\begin{eqnarray*} ||x||_{2} = 0 \leftrightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$

Typischerweise sieht der Äquivalenzpfeil so aus: $\begin{eqnarray*} ||x||_2 = 0 \Leftrightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von s_punkt
$\begin{eqnarray*} ||x||_2 = |0| \cdot |0| = 0 \end{eqnarray*}$ und das würde ja stimmen.

Jetzt hast du nur gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} x = 0 \Rightarrow ||x||_2 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Wie sieht es denn mit der anderen Richtung aus? smile

27.11.2015, 09:50

s_punkt

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Wieso andere Richtung, so haben wir die definitheit definiert smile

27.11.2015, 09:59

Elvis

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Habt Ihr ganz sicher, aber Du hast die Definition nicht verstanden. $\begin{eqnarray*} (A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (A\Rightarrow B\wedge B\Rightarrow A) \end{eqnarray*}$

27.11.2015, 10:23

s_punkt

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$\begin{eqnarray*} x=\vec{0}: |0|\cdot |0| = 0 \rightarrow x=\vec{0} \end{eqnarray*}$
So? Hammer

27.11.2015, 10:53

klarsoweit

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Nein, du gehst wieder von der falschen Voraussetzung aus bzw. du hast dich im Kreis gedreht. Du mußt $\begin{eqnarray*} ||x||_2 = 0 \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$ zeigen, also ist $\begin{eqnarray*} ||x||_2 = 0 \end{eqnarray*}$ deine Voraussetzung.

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