limsup(an+bn) < limsup(an) + limsup(bn)

26.11.2015, 19:14

LucaMa

limsup(an+bn) < limsup(an) + limsup(bn)

Meine Frage:
Guten Abend Matheboard,

Ich bin malwieder völlig überfragt, wie man derartige Gleichungen zu beweisen hat.

(a)

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty}(a_{n} + b_{n}) \leq \limsup_{n \to \infty}(a_{n})+\limsup_{n \to \infty}(b_{n}) \end{eqnarray*}$

(b)

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty}(-a_{n}) = -\liminf_{n \to \infty}(a_{n}) \end{eqnarray*}$
&
$\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty}(-a_{n}) = -\limsup_{n \to \infty}(a_{n}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ist diese Form von Gleichungen besondert definiert? Hat dies vielleicht sogar einen typischen Namen?

Grüße,
Luca

26.11.2015, 19:28

kgV

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Speziellen Namen haben die Dinger keinen, soweit ich weiß.

Sie sind aber relativ leicht zu beweisen

Kann es sein, dass du noch Informationen zurückhältst? Aufgabe (a) wäre für (nach plus unendlich) divergente $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=-a_n \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert.

Ansonsten würde ich bei der (a) verwenden, dass das Supremum der Summe kleiner gleich der Summe der Suprema der Summanden ist

Um (b) und (c) kümmern wir uns danach, ok?

Lg
kgV
Wink

26.11.2015, 19:51

LucaMa

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Mein Fehler, habe im Frust doch glatt die Voraussetzung verschluckt. Hammer

Zeigen Sie: Sind $\begin{eqnarray*} \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left(b_{n}\right)_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ beschränkte Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so gilt

...

26.11.2015, 20:41

kgV

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Das macht das Ganze dann doch etwas leichter, indem es Fallunterscheidungen bzgl unendlich erspart smile

Der Ansatz zu Aufgabe (a) ändert sich dadurch aber nicht. Verwende die Definition des Limsup und dann das, was ich in meinem ersten Post geschrieben habe smile

26.11.2015, 21:33

LucaMa

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Zitat:

Original von kgV

Ansonsten würde ich bei der (a) verwenden, dass das Supremum der Summe kleiner gleich der Summe der Suprema der Summanden ist

Aber das ist doch genau das was in der aufgabe steht? Mir fällt es schwer einen Anfang zu finden.

26.11.2015, 21:59

kgV

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Ich meine nicht den limsup, sondern das Supremum. Aber ich habe grad festgestellt, dass ich mich da vertan habe

Geben wir den limsup's mal Namen $\begin{eqnarray*} \limsup a_n=a,\limsup b_n=b \end{eqnarray*}$ . Jetzt zeigen wir einfach $\begin{eqnarray*} \limsup (a_n+b_n)\leq a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b\leq \limsup (a_n+b_n) \end{eqnarray*}$

für die erste Ungleichung nehmen wir uns zwei Zahlen u, mit $\begin{eqnarray*} u>a,v>b \end{eqnarray*}$ . Was können wir jetzt über $\begin{eqnarray*} a_n+b_n \end{eqnarray*}$ in Bezug auf $\begin{eqnarray*} u+v \end{eqnarray*}$ sagen? Denk dabei an die Definition von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

26.11.2015, 22:07

LucaMa

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Zitat:

Original von kgV
$\begin{eqnarray*} \limsup (a_n+b_n)\leq a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b\leq \limsup (a_n+b_n) \end{eqnarray*}$

Macht man das so? Sieht damit doch aus als wäre $\begin{eqnarray*} \limsup (a_n+b_n)= a+b \end{eqnarray*}$ ?!

Zitat:

Original von kgV
für die erste Ungleichung nehmen wir uns zwei Zahlen u, mit $\begin{eqnarray*} u>a,v>b \end{eqnarray*}$ . Was können wir jetzt über $\begin{eqnarray*} a_n+b_n \end{eqnarray*}$ in Bezug auf $\begin{eqnarray*} u+v \end{eqnarray*}$ sagen? Denk dabei an die Definition von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} a_n+b_n < u+v \end{eqnarray*}$ ?

26.11.2015, 23:46

kgV

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Tut mir leid, ich war wohl nicht ganz auf der Höhe. Die zweite Ungleichung gilt selbstredend nicht Hammer

Ja, zumindest für fast alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a_n+b_n<u+v \end{eqnarray*}$ , das reicht aber völlig aus:

Was können wir nämlich daraus jetzt für den Limes superior von $\begin{eqnarray*} a_n+b_n \end{eqnarray*}$ folgern?

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