Erwartungstreue

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dacat Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungstreue
Guten Abend,
da ich gerade damit beginne mich mit der induktiven Statistik zu beschäftigen, habe ich mich an ersten Aufgaben zu Punktschätzungen versucht.

Hier ist eine Aufgabe, bei der ich mal etwas Hilfe bräuchte.

[attach]39877[/attach]

Hinweis: ich nutze in meinen Lösungen für den Parameter aus der Aufgabenstellung den Buchstaben "a"

a)


b)


Somit handelt es sich für a=0 um eine Rechteckverteilung.

c)


d)


nun zu dem Teil, bei dem ich mich etwas unsicher fühle:

e)
Wenn ich es richtig verstanden habe, gilt ein Schätzwert als erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert gleich dem wahren Wert ist.

somit müsste gelten: E(T) = a



Ich selbst kann daraus nicht wirklich etwas folgen, da ich für a keinen festen Wert habe, sondern nur weiß, dass a im Intervall von -0,5 bis +0,5 liegt.
Da wäre die 0 ja immerhin die Mitte.

Kann jemand etwas dazu schreiben?
Danke im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir doch besser direkt statt . Augenzwinkern

Zitat:
Original von dacat
a)

Nein - richtig ist in diesem Intervall .
 
 
dacat Auf diesen Beitrag antworten »

Fieser Schusselfehler! Schön zu sehen, wie man sich mit einer kleinen Unachtsamkeit eine ganze Aufgabe zerschießen kann. Big Laugh

mit der korrigierten Dichtefunktion komme ich nun natürlich auf andere Ergebnisse.

Relevant für meine Frage:

c)


e)


Somit habe ich nun auch das gewünschte Ergebnis und kann sagen, dass T ein erwartungstreuer Schätzwert für den Parameter ist.

(Wollte das von dir angegebene Zeichen kopieren, aber das wollte er leider nicht annehmen. Big Laugh )

Setze mich sogleich nochmal an d) und f) ran. Danke schonmal.
dacat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungstreue
und hier noch mein Ergebnis zu e).
hoffentlich habe ich mich nicht wieder verschusselt. Wenn doch, schiebe ich es mal auf die Uhrzeit.

e)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dacat
(Wollte das von dir angegebene Zeichen kopieren, aber das wollte er leider nicht annehmen.

Unsinn. Hast du mal versucht, auf den Zitate-Button zu drücken? Dann kannst du den LaTeX-Code meines Beitrages doch sehen, u.a. auch das Zeichen \vartheta für .


Die Werte stimmen aber allesamt. Freude

P.S.: Noch eine Anmerkung zur obigen "Rechteckverteilung" im Fall . Dieser Begriff wird schon bisweilen verwendet - üblicher ist m.E. aber "stetige Gleichverteilung", hier auf [-2,2].
dacat Auf diesen Beitrag antworten »

Damit funktioniert es. Big Laugh

Super, danke dir.

Und habe mit dem Begriff Rechteckverteilung gearbeitet, da es so in meiner Literatur steht, mit der ich arbeite. Aber gut zu wissen, dass es da noch einen üblicheren Begriff gibt.
dacat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungstreue
Hier mal noch etwas anderes, was mich gerade "verunsichert":

[attach]39884[/attach]

Was mich hier genau verunsichert, ist der Begriff Schätzer in diesem Kontext. Letzten Endes habe ich für meine Grundgesamt mit dem Umfang n=200 alle Informationen zur Berechnung des wahren Erwartungswertes und der wahren Varianz gegeben, oder nicht?
Dass diese dann erwartungstreue Schätzer sind, sollte sich ja eigentlich von allein ergeben?



Oder versteh ich die Aufgabenstellung gerade grundlegend falsch?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dacat
Letzten Endes habe ich für meine Grundgesamt mit dem Umfang n=200 alle Informationen zur Berechnung des wahren Erwartungswertes und der wahren Varianz gegeben, oder nicht?

[...]

Oder versteh ich die Aufgabenstellung gerade grundlegend falsch?

Es ist wohl eher das Grundmodell der Statistik, dass du falsch verstehst. unglücklich


Du musst die (zufälligen) Werte der Stichprobe sauber von den deterministischen Parametern der zugrunde liegenden Verteilung trennen: Es ist also NICHT , sondern der Mittelwert



ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert . Genauso ist



ein erwartungstreuer Schätzer für . (Falls du wissen willst, warum statt im Nenner steht, siehe hier.)


Nochmal in aller Kürze:

a) und sind feste, aber i.a. unbekannte Parameter der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe stammt.

b) Die mathematische Stichprobe , die aus dieser Grundgesamtheit stammt, besteht aus Zufallsgrößen, die daraus berechneten Statistiken (auch Schätzer genannt) und sind demzufolge auch Zufallsgrößen.

c) Die konkrete Stichprobe ist eine Realisierung der mathematischen Stichprobe. Das sind letztendlich die konkreten Zahlenwerte der Stichprobe, die der Anwender zu Gesicht bekommt, und zugehörig hat man dann Schätzwerte Mittelwert und empirische Varianz , die entsprechend Realisierungen der Zufallsgrößen und sind. Diese konkreten Schätzwerte und empirische Varianz fallen mit jeder erneuten Stichprobennahme von Werten jedesmal etwas anders aus, können also gar nicht exakt "gleich" den Parameterwerten und sein.


Zugegeben, das muss man erstmal "sacken" lassen. Jede gute Einführungsvorlesung in Statistik sollte sich etwas Zeit lassen, dieses zum essentiellen Grundverständnis der Statistik wichtige Modell genau zu erläutern - was meiner Erfahrung nach leider zu selten geschieht.
dacat Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist mir durchaus bewusst, dass der Erwartungswert selbst und das arithmetische Mittel einer Stichprobe nicht das selbe sind. Genau so für die Varianz.
Letzten Endes möchte man, sofern ich das richtig einschätze, in der schließenden Statistik eben von den Werten der Stichprobe auf die Parameter der Grundgesamtheit schließen.

Also ich habe eine Grundgesamtheit von 10.000 Schrauben, aber keine Ahnung über deren Erwartungswert und Varianz. Deshalb entnehme ich 200 Schrauben als Stichprobe, ermittle davon Varianz und arithmetisches Mittel des gewünschten Merkmals und versuche anschließend daraus auf die Parameter der Grundgesamtheit, also den Erwartungswert und die Varianz bspw., zu schließen.

Mein Problem bei der Aufgabe war eher die Unterscheidung in Stichprobe und Grundgesamtheit.
Ich habe gedacht, dass n=200 der Umfang der Grundgesamtheit ist und ich somit auch direkt durch die Summen, die ja auch von i=1 bis 200 gehen, auf die Parameter der Grundgesamtheit schließen kann. Also im Prinzip, dass meine Grundgesamtheit hier gleich meiner Stichprobe wäre.

Aber da habe ich wohl definitiv etwas falsch verstanden.
Bringe mir das meiste selbst bei, deshalb ist die Hilfe hier im Forum auch ziemlich wichtig für mein Verständnis. Freude

Ich setz mich nochmal ran.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn die Herstellerfirma der Rechner die nächste Firma mit demselben Rechnertyp beliefert, ist das nach deiner Vorstellung eine "neue" Grundgesamtheit, mit wieder anderen Werten? Eine eigenartige, seltsame Sichtweise.

Ich sehe es eher so: Grundgesamtheit sind die Rechner eines gewissen Typs, mit einer bestimmten, aber unbekannten Verteilung der Lebensdauer. Zur Belieferung des Versicherungskonzerns wird aus dieser Grundgesamtheit eine Stichprobe der Größe 200 gezogen, aus der man Schätzungen für Erwartungswert und Varianz der Lebensdauer berechnen kann. Die können dann als Prognose dienen für entsprechende Parameter weiterer Lieferungen dieser Firma - dafür macht man doch solche Statistiken!
dacat Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das klingt einleuchtend. Hammer

Habe die Aufgabe nochmals neu bearbeitet.

a)


b)
Aufgabe: Konfidentzintervall für angeben mit




Sieht das besser aus? Ich hoffe es zumindest. Erstaunt2
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