Potenzreihendarstellung

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26.11.2015, 21:25	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihendarstellung Guten Abend Ich versuche gerade die Lösung dieser Aufgabe nachzuvollziehen, aber ich verstehe das mit der 8 vor der Summe und dem n = 3 nicht. Alles davor versteh ich, aber ab da dann erstmal nicht. Kann mir das jemand erklären?
27.11.2015, 05:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihendarstellung Als erstes ist dort ein Indexshift $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \frac {z^{n+3} } {2^{n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \frac {z^{n+3} } {2^{(n+3) -3 + 1}} = \sum_{m=3}^\infty \frac {z^m } {2^{m -3 + 1}} \end{eqnarray}$ . Als nächstes bemerkt man $\begin{eqnarray} 2^{m-3 + 1} = 2^{-3} \cdot 2^{m+1} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} 2^{-3} = \frac 1 8 \end{eqnarray}$ ergibt sich dann die 8.
27.11.2015, 20:00	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, aber da hab ich jetzt leider gar nix verstanden Was macht du mit dem m? Wie kommst du auf die 2^-3?
27.11.2015, 20:59	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst machen wir uns klar: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+3}}{2^n}=\frac{2^3}{2^3}\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+3}}{2^n}=2^3\cdot\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+3}}{2^{n+3}}=8\sum_{n=3}^\infty \left(\frac z2\right)^n~() \end{eqnarray}$ Lassen wir nun den Faktor $\begin{eqnarray} \frac 12 \end{eqnarray}$ zunächst mal aussen vor und betrachten folgendes: $\begin{eqnarray} (1+z^3)\sum_{n=0}^\infty \left(\frac z2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac z2 \right)^n+\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n+3}}{2^n}=\underbrace{1+\frac z2+\frac{z^2}4+\sum_{n=3}^\infty\left(\frac z2\right)^n}_{=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac z2 \right)^n}+\underbrace{8\sum_{n=3}^\infty \left(\frac z2\right)^n}_{()}=1+\frac z2+\frac{z^2}4+9\sum_{n=3}^\infty\left(\frac z2\right)^n \end{eqnarray}$
27.11.2015, 21:58	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{2^{n+1}} + \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{z^{n+3}}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Bis da ist es mir klar.. Dummerweise steht ja jetzt aber die 3 im Exponent des Zählers in der 2. Summe. Deshalb setzt man jetzt bei n = 3 an, damit alles wieder richtig ist. Deshalb kann man jetzt wieder schreiben $\begin{eqnarray} \sum \limits_{n = 3}^\infty \frac{z^{n}}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Die vorherige Summe lass ich mal weg, an der ändert sich ja nichts.. Wo kommt jetzt aber noch die 8 vor dem Summenzeichen her? Weshalb? Wie kommt man darauf? Tut mir leid, aber ich hab eure beiden Erklärungen noch nicht geblickt
28.11.2015, 21:52	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Möchte es bitte noch jemand versuchen, mir die Lösung des Rätsels verständlich zu machen?
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28.11.2015, 21:58	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin so frei: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{2^{n+1}}=\sum_{n=3}^\infty\frac{z^{n+3-3}}{2^{n+1-3}}=\cdots \end{eqnarray}$ Die 8 kommt davon, dass der Ausdruck im Nenner nach der Indexverschiebung wieder an die ursprüngliche Form angeglichen wird Lg kgV
28.11.2015, 22:03	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ich bin einfach zu blöd dazu.. Tut mir leid, aber ich versteh es wirklich nicht. Ich glaub ich lass es gut sein. Gibt in der Prüfung eh nur 7 Punkte dafür, schenk ich mir
28.11.2015, 22:08	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum aufgeben? So schwer ist das nicht. Um im Nenner von $\begin{eqnarray} \frac{z^n}{2^{n-2}} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \frac{z^n}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ zu kommen, muss der Nenner mit $\begin{eqnarray} 2^3=8 \end{eqnarray}$ multipliziert werden. Deswegen muss dasselbe entsprechend auch im Zähler passieren, sprich $\begin{eqnarray} \frac{8z^n}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ . Diese 8 wurde dann vor die Summe gezogen
28.11.2015, 22:20	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also nochmal langsam.. Wir betrachten mal nur $\begin{eqnarray} \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{z^{n+3}}{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ Damit der Zähler wieder stimmt, setzt man jetzt n = 3, somit folgt: $\begin{eqnarray} \sum \limits_{n = 3}^\infty \frac{z^{n+3 - 3}}{2^{n+1 - 3}} = \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{z^{n}}{2^{n - 2}} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Wenn ich bei n (also unterhalb des Summenzeichens) eine Zahl einsetze, dann muss ich beiden (?) Exponenten diese Zahl subtrahieren? Weiterhin: Ist es richtig, dass die Summe jetzt bei n = 0 steht oder muss es n = 3 sein? $\begin{eqnarray} \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{z^{n}}{2^{n - 2}} \end{eqnarray}$ Und jetzt soll es im Nenner wieder $\begin{eqnarray} 2^{n + 1} \end{eqnarray}$ werden? Ok, dann also mit $\begin{eqnarray} 2^3 \end{eqnarray}$ multiplizieren, also $\begin{eqnarray} 2^3 \cdot 2^{n - 2} = 2^{n - 2 + 3} = 2^{n + 1} \end{eqnarray}$
28.11.2015, 22:28	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "n gleich 3 setzen" nennt sich Indexverschiebung. Damit die Summe damit nicht verändert wird, müssen alle n's durch n-3 ersetzt werden. Allgemein: wenn der Startwert um x nach oben geändert wird, dann müssen die Indizes um x nach unten verschoben werden Weiter: nein, die Summe startet jetzt schön brav bei 3, die haben wir da hin geschoben, und da bleibt sie jetzt auch Ist es jetzt etwas klarer oder fehlen noch Verständnisschritte?
28.11.2015, 22:36	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann habe ich jetzt zumindest diesen Teil verstanden Wie geht es weiter? Löst man jetzt die "Vordere" Summe bis n = 3 auf? Also da steht ja $\begin{eqnarray} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n + 1}} \end{eqnarray}$ Und diese jetzt bis n = 3 lösen? Oder nur bis n = 2? Das würde zumindest $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \frac{z}{4} + \frac{z^2}{8} \end{eqnarray}$ erklären. Wenn man noch n = 3 nimmt, würde noch $\begin{eqnarray} \frac{z^3}{16} \end{eqnarray}$ hinzukommen..
28.11.2015, 22:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt wird vorne das 0-te, 1-te und 2-te Summenglied getrennt herausgeschrieben, damit beide Summen beim Gleichen Index starten. Das erlaubt es, sie im nächsten Schritt zusammenzufassen
28.11.2015, 22:46	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah, das ist ja raffiniert Danke, jetzt hat es Klick gemacht
28.11.2015, 22:47	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also Gern geschehen

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