Cauchyscher Grenzwertsatz, Konvergenz des arithmetischen Mittels, (Cesàro-Mittel)

26.11.2015, 22:52	studentvonmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchyscher Grenzwertsatz, Konvergenz des arithmetischen Mittels, (Cesàro-Mittel) Guten Tag, zu zeigen ist, dass wenn eine Folge gegen eine reelle Zahl A konvergiert, dass dann auch die Folge des arithmetischen Mittels der ersten n Folgeglieder gegen A konvergiert. Also: Sei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine Folge und $\begin{eqnarray} a_n\to a \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} s_n:=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray}$ Zu zeigen $\begin{eqnarray} s_n\to a \end{eqnarray}$ . -- Bitte nicht auf Wikipedia-Artikel verweisen, die kenne ich bereits. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} a_n\to a \end{eqnarray}$ heißt ja, dass für alle $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ der Abstand $\begin{eqnarray} \|a_n-A\|<\epsilon \end{eqnarray}$ für fast alle n wird. Das ist mir auch alles klar, wie die Konvergenz definiert ist. Nun soll ebenso $\begin{eqnarray} \left\| \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i\right)-A\right\| <\epsilon \end{eqnarray}$ für fast alle n gelten. So anschaulich ist mir klar, dass dann das $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , ab dem das gilt natürlich im Allgemeinen größer sein muss, als dasjenige für die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ selber. Mir ist schon klar, dass man ja nur zeigen muss, dass es aber eben ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ gibt, ab dem dies dann immer gilt (also für fast alle n). Doch da komme ich nicht weiter. Würde mich über einen Ansatz freuen, mir ist es wichtig das sehr mathematisch korrekt zu machen. Viele Grüße
26.11.2015, 23:56	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchyscher Grenzwertsatz, Konvergenz des arithmetischen Mittels, (Cesàro-Mittel) Im Wikipedia Artikel zum Cauchyschen GWS ist der Beweis doch sauber und detailliert dargelegt. Es macht also wenig Sinn das Ganze hier noch mal rein zu kopieren. Ist Dir in der Beweisführung etwas unklar?
27.11.2015, 15:44	studentvonmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist für mich unklar warum das gelten soll $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^N (a_k - a) = 0 \end{eqnarray}$ außerdem warum n und N ? Verweis: wikipedia > Cauchyscher Grenzwertsatz
27.11.2015, 16:33	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^N (a_k - a) \end{eqnarray}$ ist eine konstante Zahl, die hängt nicht von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ab. Wir multiplizieren also eine Nullfolge mit einer Konstanten. Ist es jetzt klar?
28.11.2015, 12:16	studentvonmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich habe nun den Beweis dort nochmals versucht nachzuvollziehen. Verstehe ich richtig, dass N angibt, ab wann die Folge selbst das Epsilon(hier: halbe)-Kriterium erfüllt und M gibt an, ab wann die Summe der ersten N Folgeglieder durch n das Epsilon(hier: halbe)-Kriterium erfüllt ? Also man teilt die Folge gedanklich beim Index N und was danach kommt, also $\begin{eqnarray} a_n, \ n>N \end{eqnarray}$ ist in der Epsilon-Umgebung (weil N genau so gewählt wird, dass das passiert). Nun für die Folgeglieder vor/bis N wird die Differenz zum Grenzwert im Allg. größer sein... Hier summiert man über genau diese Differenzen (das ist die konstante Zahl, was Guppi12 sagte ) und multipliziert mit der Nullfolge 1/n. Für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ geht das dann gegen Null. Das heißt auch hier finden wir eine Zahl M, sodass für alle n>M dieser Term das Epsilon-Kriterium erfüllt. Soweit richtig?
28.11.2015, 12:46	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist alles richtig.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »