Konvergierende Intervallschachtelung

27.11.2015, 14:00

klias

Konvergierende Intervallschachtelung

Ich habe gegeben: $\begin{eqnarray*} 0<a<b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_1=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_1=b \end{eqnarray*}$

und die Folgen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{2a_nb_n}{a_n+b_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \end{eqnarray*}$

auch weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} a_nb_n = ab \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen, dass diese Folgen eine Intervallschachtelung bilden, die gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ geht.

Ich habe leider keine Ahnung, wo ich bei diesem Beispiel anfangen soll.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe

27.11.2015, 14:44

Matt Eagle

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RE: Konvergierende Intervallschachtelung
Fang doch mal damit an die Intervallschachtelung zu zeigen.
Die Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischen und harmonischem Mittel sollte einiges an Inspiration liefern.

28.11.2015, 14:12

klias

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Das war wirklich sehr hilfreich. Nur bei der Intervallschachtelung haperts noch. Da hab ich wirklich keinen Plan, wie ich das in diesem Fall zeigen kann

28.11.2015, 14:46

myrmos

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Die Antwort auf die Frage würde mich auch interessieren

Ich komme bis $\begin{eqnarray*} 2a_nb_n \leq a_n^2+b_n^2 \end{eqnarray*}$ , dann weiß ich aber auch nicht mehr weiter

28.11.2015, 15:08

myrmos

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Sehs schon für $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{2} \leq \frac{a_n+b_n}{2} \end{eqnarray*}$ kommst du über Umformen und einsetzen für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_{n+1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0 \leq (a_n-b_n)^2 \end{eqnarray*}$ was eine wahre Aussage ist

Die andere Seite hab ich auch noch nicht geschafft

28.11.2015, 15:19

klias

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Danke hat mir sehr geholfen

28.11.2015, 15:25

klias

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Aber wie zeige ich jetzt, dass es gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ konvergiert, ohne diese Ungleichung zu verwenden

28.11.2015, 16:05

klias

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Ich komme nur bis $\begin{eqnarray*} \frac{(a_n-b_n)^2}{2(a_n+b_n)} < \epsilon \end{eqnarray*}$

28.11.2015, 20:16

Matt Eagle

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AM-GM-HM liefert:

$\begin{eqnarray*} a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n. \end{eqnarray*}$

Bleibt noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0. \end{eqnarray*}$

Betrachte dazu:

$\begin{eqnarray*} b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{(b_n-a_n)^2}{2(a_n+b_n)}=(b_n-a_n)\frac{b_n-a_n}{2(a_n+b_n)}\leq\frac 12(b_n-a_n). \end{eqnarray*}$

Induktiv folgt daraus nun:

$\begin{eqnarray*} b_n-a_n\leq \frac 1{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Offenbar sind also $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ konvergent mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\sqrt{ab}. \end{eqnarray*}$

28.11.2015, 20:23

Matt Eagle

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Ups, ...
So sollte das oben eigentlich lauten:

Zitat:

Original von Matt Eagle
Induktiv folgt daraus nun:

$\begin{eqnarray*} b_n-a_n\leq \frac 1{2^{n-1}}(b-a) \end{eqnarray*}$

29.11.2015, 08:26

klias

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Danke nochmal für eure Hilfe

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