lineare Hülle und affine Hülle

28.11.2015, 10:04	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Hülle und affine Hülle Ich soll für $\begin{eqnarray} S \subset V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ is K-Vektorraum, zeigen, dass $\begin{eqnarray} [S]_{lin} = [S \cup \{0\}]_{aff} \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} [S]_{aff} = \cap_{s\subset A^`} A^` \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A^` \end{eqnarray}$ ein affiner Unterraum ist Ich komme hier leider nicht weiter. Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus
28.11.2015, 10:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die lineare Hülle von S ist der kleinste Untervektorraum von V, der S enthält. Jeder Vektorraum enthält den Nullvektor. Das sollte genügen, um einen Beweis zu konstruieren.
28.11.2015, 11:35	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der linearen Hülle ist mir klar. Ich sehe nur den Zusammenhang zwischen affiner Hülle und linearer Hülle nicht
28.11.2015, 12:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir scheint $\begin{eqnarray} [S]_{aff}\subseteq [S]_{lin} \end{eqnarray}$ trivial zu sein. Für die umgekehrte Inklusion habe ich schon darauf hingewiesen, dass der Nullvektor in der linearen Hülle liegen muss. Als anschauliches Beispiel denke ich mir für S drei nichtkollinare Punkte im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Die affine Hülle ist im allgemeinen eine Ebene, die den Nullpunkt nicht enthält. Weil der Nullvektor in der linearen Hülle liegt, ist die lineare Hülle die affine Hülle von 4 Punkten in allgemeiner Lage, also der $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Wenn der Nullpunkt schon zu $\begin{eqnarray} [S]_{aff} \end{eqnarray}$ gehört, ist lineare und affine Hülle gleich.
28.11.2015, 13:04	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ein affiner Raum $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist immer ein um einen Vektor $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ verschobener UVR d.h. $\begin{eqnarray} A = w + U \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} [S]_{lin} \end{eqnarray}$ ein UVR ist, der alle Elemente von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ enhthält, folgt, dass wenn $\begin{eqnarray} 0\in [S]_{aff} \end{eqnarray}$ mein UVR $\begin{eqnarray} [S]_{lin} + 0 \end{eqnarray}$ mein Affiner Raum ist?
28.11.2015, 13:29	klias	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder Für die affine Bais $\begin{eqnarray} (p_0,p_1,p_2,...,p_n) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (p_1-p_0, p_2-p_0,...p_n-p_0) \end{eqnarray}$ ist Basis des zum affinen Raum gehörenden UVR und $\begin{eqnarray} p_0 \in A \end{eqnarray}$ ist bel. Also wähle ich $\begin{eqnarray} p_0 = 0 \end{eqnarray}$
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28.11.2015, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So geht das leider nicht. Für den allgemeinen Fall hast Du einiges durcheinander gebracht. Dass S nur aus endlich vielen Punkten besteht, ist nicht vorausgesetzt, also kannst Du auch nicht mit $\begin{eqnarray} p_0,...,p_n \end{eqnarray}$ argumentieren. Mein anschauliches Beispiel dient nur der Anschauung, daher der Name "anschauliches Beispiel", ist aber kein Beweis. Übrigens ist mir mittlerweile aufgefallen, dass Ihr mit einer speziellen Art affiner Räume arbeitet, sonst könnte man Punkte aus S nicht mit Vektoren aus S identifizieren. Vermutlich kann oder muss man für einen Beweis diese spezielle Situation ausnutzen.

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