Eindeutigkeit des Ringhomomorphismus vom R[t] nach S

28.11.2015, 14:04	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit des Ringhomomorphismus vom R[t] nach S Meine Frage: Aufgabe s. Bild. (Um Fehler meinerseits, bei der wiedergabe zu vermeiden :p) Meine Ideen: Da so viele neue Begriffe vorkommen, fällt es mir ein wenig schwer die Aufgabe richtig zu durchblicken. Ich weiß, dass mein Beweis zweiteilig sein muss: 1. Existenz und 2.Eindeutigkeit. Beim Existenzbeweis soll ich ja laut Aufgabenstellung die genannte Abbildung überprüfen. Wie tue ich das genau? Beim Eindeutigkeitsbeweis habe ich leider keine Idee außer das man ja immer so vorgeht, dass man annimmt es gibt einen zweiten und zeigt das die beiden gleich sind.. LG Denise
28.11.2015, 18:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie der Existenzbeweis zu führen ist, steht überdeutlich in der Aufgabe. Betrachte die spezielle Abbildung $\begin{eqnarray} \psi:R[t]\to S,\sum_ir_it^i \mapsto \sum_i \varphi(r_i)s^i \end{eqnarray}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ein Ringhomomorphismus ist mit $\begin{eqnarray} \psi \circ \iota=\varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi(t)=s \end{eqnarray}$ .
29.11.2015, 18:28	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber ich weiß leider nicht, wie ich das zeigen soll..
29.11.2015, 19:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt Du nicht, was ein Ringhomomorphismus ist ? Die Eigenschaften zu berechnen ist doch kinderleicht. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray} \psi(t)=\psi(1\cdot t^1)=\varphi(1)\cdot s^1=1\cdot s=s \end{eqnarray}$
29.11.2015, 19:36	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
naja ich kenne die definition, aber so richtig dahintergestiegen was genau es ist, bin ich noch nicht. wieso genau kann ich denn hier die ringhomomorphismen austauschen? weil es das selbe einselement ist? edit: es steht ja in der aufgabe so drin, dass die abb. so abbildet...
29.11.2015, 19:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ habe ich die Abbildung genannt, die Du betrachten sollst. Sie ist so definiert, dass $\begin{eqnarray} \psi(1\cdot t^1)=\varphi(1)\cdot s^1 \end{eqnarray}$ gilt. Der Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ bildet die 1 aus $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ auf die 1 aus $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ab . Ringhomomorphismus: $\begin{eqnarray} \psi((p(t)+q(t))=\psi(p(t))+\psi(q(t)),\psi((p(t)\cdot q(t))=\psi(p(t))\cdot\psi(q(t)) \end{eqnarray}$
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29.11.2015, 20:07	dh2005	Auf diesen Beitrag antworten »
okay warum diese bedingung gilt habe ich jetzt verstanden. wie sieht es denn mit der anderen aus? ich weiß, dass psi (kringel) iota von R nach S geht und der andere Ringhomom. (wie nennt sich denn der andere buchstabe oder was das ist) auch. aber was kann ich damit anfangen.. garnichts oder? es tut mir leid, wahrscheinlich sehe ich den wald vor lauter bäumen einfach nicht, also was ich tun soll sehe ich aufgrund der vielen neuen begriffe einfach nicht ...
29.11.2015, 21:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du das noch nicht mühelos schaffst, musst Du dir mehr Mühe geben. Definitionen lernen und üben üben üben ... Tipp: Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie für alle Argumente gleich sind.

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