Cauchy Produkt, Kleiner Gauß

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28.11.2015, 20:23	LaimsTom	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Meine Frage: Die Aufgabe lautet zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} ({\sum\limits_{k=0}^{n} x^{k}})^{3}= \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{((k + 2) \cdot (k + 1))}{2} \cdot x^{k} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \frac{(k + 2) \cdot (k + 1)}{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} (k + 1) \end{eqnarray}$ kgV: Latex-Tags gesetzt. Bitte beim nächsten Mal den f(x)-Button bemühen
28.11.2015, 20:34	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Berechne zunächst $\begin{eqnarray} \left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2 \end{eqnarray}$ und dann multiplizierst Du das Ergebnis mit $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty x^n. \end{eqnarray}$ Abgesehen von der Cauchyschen Produktformel und dem kleinen Gauß brauchst Du nichts weiter.
28.11.2015, 20:35	LaimsTom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Oh. Danke Zu meinem Ansatz. Eigentlich wollte ich die Gleichheit mit dem Cauchy-Produkt zeigen, aber ich finde keinen Ansatz. Und wenn ich das oben einsetze, bekomme ich eine Doppelsumme und damit komme ich auch nicht weiter leider. Danke schon mal im Voraus für Ideen
28.11.2015, 20:39	LaimsTom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Die linke Seite habe ich schon ausmutipliziert. Dafür habe ich die endliche geometrische Reihe benutzt und dann den binomischen Lehrsatz, aber wie hilft mir das weiter? Oder ist es nicht dasselbe, was Du vorgeschlagen hast?
28.11.2015, 21:00	LaimsTom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Ich habe jetzt: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{k=1}^{n} x^{k}) ^{2} = \sum\limits_{k=1}^{n} x^{k} \cdot (k + 1) \end{eqnarray}$ Wie mache ich: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} x^{k} \cdot (k + 1) \cdot \sum\limits_{k=1}^{n} x^{k} \end{eqnarray}$ ?
28.11.2015, 21:16	LaimsTom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß ich glaube ich habe mich verrechnet. Ich komme nämlich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{oo} x^{k} \cdot (k + 1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{oo} x^{l} = \sum\limits_{k=0}^{oo} (\sum\limits_{l=0}^{k} x^{k} \cdot (k - l + 1)) \end{eqnarray}$ Aber rauskommen soll ja: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{oo} (\sum\limits_{k=1}^{n} (k + 1) \cdot x^{k} ) \end{eqnarray}$
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28.11.2015, 21:32	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Ja, Du hast Dich verrechnet. Versuch's mal so: $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n\sum_{n=0}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n\left((k+1)x^k\cdot x^{n-k}\right)=\ldots \end{eqnarray}$
28.11.2015, 21:35	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Kurzer Einwurf: @MattEagle: Im Eröffnungspost hat LaimsTom nur eine endliche Summe angegeben (nicht dass das viel an der Berechnung ändern würde, aber dennoch) und wieder raus
28.11.2015, 21:38	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Ja, ist mir nicht entgangen. Ich unterstelle aber mal, dass er sich da vertan hat, was durch die Einschränkung \|x\|<1 erhärtet wird.
29.11.2015, 12:28	LaimsTom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy Produkt, Kleiner Gauß Ja. Ich habe mich am Anfang vergangenen. Es handelt sich nicht um eine endliche Summe. Ich habe jetzt folgendes: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{oo}\frac{(k+2) \cdot (k+1)}{2} \cdot x^{k} = \sum\limits_{k=0}^{oo} (\sum\limits_{l=0}^{k} (l+1) \cdot x^{k} ) \end{eqnarray}$ Und: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{oo} (k+1) \cdot x^{k} \cdot \sum\limits_{i=0}^{oo} x^{i} = \sum\limits_{k=0}^{oo} (\sum\limits_{i=0}^{k} (i+1) \cdot x^{k}) \end{eqnarray}$ Mir ist aufgefallen, dass ich vorher oft die Indizes verwechselt habe. Ich hoffe es stimmt so. Mit ist aber nicht ganz klar, warum man aus (k+1) dann (i+1) machen darf?

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