Konvergenz Folgen

29.11.2015, 12:18

Jefferson1992

Konvergenz Folgen

Hallo,

habe eine kleine Verständnisfrage:

Ich soll sagen, ob die folgende Folge konvergiert oder divergiert und gegebenenfalls den Grenzwert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \left\{x_n\right\}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \end{eqnarray*}$

Ich habe erstmal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ aus der Summe rausgenommen, da dieser Faktor ja konstant ist.

Dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}{k} \end{eqnarray*}$

So jetzt meine Frage, Grenzwert muss ja gegen einen bestimmten Wert sein. Deshalb müsste meine Summe doch divergieren oder?

Wie mache ich da jetzt weiter? Weil nach Probieren konvergiert die komplette Folge gegen 0.5..

Danke!

29.11.2015, 12:24

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Jefferson1992
So jetzt meine Frage, Grenzwert muss ja gegen einen bestimmten Wert sein. Deshalb müsste meine Summe doch divergieren oder?

Das verstehe ich nicht. verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ kennst du doch sicherlich eine explizite Darstellung. Setz die einfach mal ein; und dann kannst du den Grenzwert bestimmen.

29.11.2015, 12:40

Jefferson1992

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ach ja klar.. peinlich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}{k}=\frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Jetzt $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern:
$\begin{eqnarray*} =\frac{n^2+n}{2n^2}=\frac{(1+\frac{1}{n})}{2} \end{eqnarray*}$
Dann kann ich \frac{1}{2} wieder rausziehen und da beide Folgen konverieren folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann man das so schreiben?

29.11.2015, 12:43

10001000Nick1

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Der Anfang ist richtig; aber da würde ich nochmal drüber nachdenken:

Zitat:

Original von Jefferson1992
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

29.11.2015, 12:44

Jefferson1992

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das wäre 0..

wo ist mein Fehler?

edit: ach ich sehs

ich hab:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \lim_{n \to \infty} 1 +\frac{1}{2}\cdot\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+0=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

29.11.2015, 12:51

10001000Nick1

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Ja, jetzt passt's. smile

29.11.2015, 13:07

Jefferson1992

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wunderbar danke!

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