Lagrangesches Multiplikatorverfahren

29.11.2015, 12:19	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrangesches Multiplikatorverfahren Ich habe jetzt die Extremstellen bei $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{5}{2} \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} y_1 = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 = -1 \end{eqnarray}$ Eingesetzt in f ergibt das $\begin{eqnarray} f\left( \frac{3}{2} \| 1 \right) = \frac{5}{4} \end{eqnarray}$ und somit laut Lösung ein Minimum. Oder $\begin{eqnarray} f\left( \frac{5}{2} \| -1 \right) = \frac{45}{4} \end{eqnarray}$ und somit laut Lösung ein Maximum Beide Werte sind positiv, aber trotzdem unterscheiden sie sich in der Art des Extrema. Versteh ich nicht Und bei einer anderen Aufgabe war es wieder anders.. Hier mal die Lösung dazu. Da sind die positiven Werte ein Maximum und die negativen ein Minimum.
29.11.2015, 13:30	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal vorausgesetzt ihr habt gezeigt, dass es sich bei beiden auch wirklich um Extrema handelt, dann ist doch offensichtlich $\begin{eqnarray} \frac 54 < \frac {25}4 \end{eqnarray}$ .
29.11.2015, 14:25	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, also vergleicht man hier nur die Werte miteinander und nicht, ob sie größer oder kleiner 0 sind?
29.11.2015, 15:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vorzeichen des Funktionswertes hat nichts mit der Eigenschaft Minimum oder Maximum zu tun. Beispielsweise hat $\begin{eqnarray} f(x)=x^2+5 \end{eqnarray}$ bei bei x=0 ein Minimum, "obwohl" f(0)=5. Entsprechend hat $\begin{eqnarray} g(x)=-(x^2+1) \end{eqnarray}$ in(0/-1) ein Maximum. Wie oben schon angedeutet: Ich gehe davon aus, dass es eurem Prof nur um die Werte im Vergleich geht. Wenn man weiss, dass es ein Minimum und ein Maximum gibt, kann der kleinere Wert nur das Minimum sein.
29.11.2015, 16:18	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm.. Also bei einfachen Funktionen, wie zum Beispiel $\begin{eqnarray} f(x) = 3x^3 + 2x^2 - x + 5 \end{eqnarray}$ bildet man doch die erste Ableitung, setzt diese dann 0 und hat damit die Extremwerte an der Stelle x. Für y setzt man diese gefunden x-Werte in die Ausgangsgleichung ein. Für den Nachweis bildet man die 2. Ableitung. Anschließend setzt man den gefundenen x-Wert in f'' ein, also $\begin{eqnarray} f''(x_E) \end{eqnarray}$ Ist der errechnete Wert größer 0 --> Minimum; kleiner 0 --> Maximum; = 0 --> Sattelpunkt So.. jetzt hat man Funktionen wie $\begin{eqnarray} f(x,y) = 4x^3y^2 - 3x \end{eqnarray}$ Angenommen diese Funktion wird als Aufgabe gestellt und es steht geschrieben, dass es keine Nebenbedinungen gibt. Vorgehensweise: Ableitungen fx und fy bilden, 0 setzen ergibt x und y. Jetzt Punkte überprüfen: Ableitungen fxx, fyy und fxy = fyx bilden, damit die geänderte Hesse-Matrix aufstellen und den gefundenen Extrempunkt einsetzen. Determinante berechnen. Der Wert der Determinante muss größer 0 sein, damit es auch tatsächlich ein Extrempunkt ist. Ist dies nicht fer Fall, also Det < 0 --> Sattelpunkt. Und für den Fall Det = 0 --> Kriterium versagt Für die Art des Extrempunktes betrachtet man jetzt fxx. Ist fxx > 0 --> Minimum. fxx < 0 --> Maximum So, und dann gibt es jetzt noch Funktionen mit Nebenbedinung --> Lagrange. Hier ist es mir jetzt nicht so richtig klar, wie ich die Art des Extrempunktes bestimme. Was muss denn für ein Minimum und was für das Maximum gelten?
29.11.2015, 18:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum ersten Aufgabentyp: Die erste Ableitung liefert die möglichen Extremstellen. Der Nachweis kann über die zweite Ableitung efolgen, muss aber nicht (Alternativ: Vorzeichenwechsel). Ist die zweite Ableitung gleich Null, lässt sich nichts über den kritischen Punkt aussagen. Es kann sich um ein Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt handeln. Hierzu ist wieder das Vorzeichenwechselkriterium oder die weiteren Ableitungen zu betrachten. Zum zweiten Aufgabentyp: Zum dritten und eigentlichen Aufgabentyp: Vergleichen ist eine der möglichen Wege. Andere findest Du zum Beispiel unter diesem Link.
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29.11.2015, 18:21	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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