Surjektivität der komplexen e-Funktion

29.11.2015, 13:03	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität der komplexen e-Funktion Meine Frage: Hallo liebe Matheboardler, ich habe eine Aufgabe zu lösen, weiß aber nicht, wie ich weiterkomme. Also z.z. ist: $\begin{eqnarray} exp(\frac{1}{z^2}) \end{eqnarray}$ nimmt auf jeder punktierten Kreisscheibe $\begin{eqnarray} B_{r}(0) \end{eqnarray}$ \{0} alle Werte $\begin{eqnarray} w\in \mathbb C \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ \{0} unendlich oft an. Meine Ideen:* Ich habe das Bild der Funktion $\begin{eqnarray} exp(\frac{1}{z^2}) \end{eqnarray}$ betrachtet. Jetzt weiß ich ja, dass die e-Funktion im Komplexen alle Werte unendlich oft annimmt, allerdings habe ich das im Internet gelesen und kann es nicht wirklich formal beweisen. Ich habe bereits gezeigt, dass der Betrag von $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray}$ gleich 1 ist. Das habe ich, indem ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray}$ die Schreibweise $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x+iy)^2} \end{eqnarray}$ umgewandelt und deren Betrag ausgerechnet habe. Damit bildet $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray}$ ja auf einen Kreis (NUR auf das äußere des Kreises) ab, stimmt das so? Also bleibt z. z., dass die e-Funktion diesen Kreis auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb C* \end{eqnarray*}$ abbildet. Wie mache ich das? LG Poskepia
30.11.2015, 00:47	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu ich glaube nicht, dass der Betrag von $\begin{align} \frac{1}{z^2} \end{align}$ gleich $\begin{align} 1 \end{align}$ ist, da hast du dich vertan Für die Aufgabe ist es essenziell, zu verstehen, wie das Bild der punktierten Kreisscheibe unter $\begin{align} \frac{1}{z^2} \end{align}$ aussieht. Mache dir klar, dass es sich dabei um das Komplement einer beschränkten Kreisscheibe handelt. Es reicht also, zu zeigen, dass die Exponentialfunktion in einem solchen Gebiet jeden Wert beliebig oft annimmt. Nutze dafür die $\begin{align} 2\pi \end{align}$ -Periodizität.
30.11.2015, 09:25	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, stimmt, ich Depp habe den Betrag falsch ausgerechnet. So, jetzt habe ich, dass der Betrag: $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{z^2} \| = \frac{1}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ ist. Daher kann ich ja sagen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{r} \leq \| \frac{1}{z^2} \| \leq \infty \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} 0 \le x^2+y^2 \leq r \end{eqnarray}$ gilt, da $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ aus der Kreisscheibe mir Radius r kommt. Darf ich damit sagen, dass das Bild der Kreisscheibe unter $\begin{eqnarray} \frac{1}{z^2} \end{eqnarray}$ das Komplement einer Kreisscheibe mit Radius $\begin{eqnarray} \frac{1}{r} \end{eqnarray}$ ist? Dann fehlt nur noch z.z., dass die e-Funktion auf diesem Gebiet, nennen wir es $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , alle Werte unendlich oft annimmt. Ich kann ja: $\begin{eqnarray} exp(\frac{1}{z^2}) = e^{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}}(cos(\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2})+i* sin(\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}) ) \end{eqnarray}$ schreiben. Dann kann ich ja darüber, dass $\begin{eqnarray} \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ für alle Zahlen $\begin{eqnarray} z \in A \end{eqnarray}$ unendlich groß werden kann, argumentieren, dass sich das Argument der e-Funktion irgendwann $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodisch wiederholt, also da kann man schonmal sagen, dass man "mehrmals im Kreis läuft". Allerdings müsste ich jetzt noch zeigen, dass dabei der Betrag der e-Funktion, sprich der Teil $\begin{eqnarray} e^{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}} \end{eqnarray}$ gleich bleibt, während das Argument unendlich groß wird, da es dann den Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} e^{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}} \end{eqnarray}$ unendlich oft durchläuft... Wie zeige ich den das? Denn, wenn sich das Argument $\begin{eqnarray} \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$ ändert, ändert sich ja auch automatisch der Betrag mit. LG Poskepia
01.12.2015, 00:16	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Das schöne daran, dass man das Gebiet so explizit hinschreiben kann, ist doch, dass man danach nicht mehr exp(unhandliches Argument) anschauen muss, sondern sich auf die Betrachtung von $\begin{align} \exp(z) \end{align}$ zurückziehen kann für $\begin{align} z \end{align}$ genügend groß im Betrag. Sei also $\begin{align} w \end{align}$ irgendeine komplexe Zahl ungleich $\begin{align} 0 \end{align}$ . Dann gibt es irgendein $\begin{align} z\in\mathbb C \end{align}$ mit $\begin{align} \exp(z) = w \end{align}$ . Eines davon kannst du dir ja mal ansehen und dann so oft $\begin{align} 2\pi i \end{align}$ zu $\begin{align} z \end{align}$ addieren, bis der Betrag groß genug ist.
01.12.2015, 20:58	Poskepia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, sehr cool, so geht es natürlich sehr gut. Dankeschön! LG Poskepia

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