Vollständige Induktion hier anwendbar? - Seite 2

29.11.2015, 17:29

kgV

Achte mal nur auf den Nenner links, der ist die Kernsache: $\begin{eqnarray*} 1+a_{n-1}-(2+\frac1{1+a_{n-1}})=-1+a_{n-1}-\frac1{1+a_{n-1}}=\frac{(a_{n-1}-1)(a_{n-1}+1)}{a_{n-1}+1}-\frac1{1+a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}^2-1-1}{1-a_{n-1}} \end{eqnarray*}$

Damit erklärt sich das erste Gleichheitszeichen in meiner Umformung:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1+a_{n-1}-(2+\frac1{1+a_{n-1}})}{3-2a_{n-1}}\right|=\left|\frac{{\color{blue}\frac{a_{n-1}^2-2}{1+a_{n-1}}}}{3-2a_{n-1}}\right|\leq q\left|{\color{blue}\frac{2-a_{n-1}^2}{1+a_{n-1}}}\right| \end{eqnarray*}$

Das blau markierte ist gleich, weil ich wegen dem Betrag die Vorzeichen umdrehen darf. Wenn ich also den rechten Betrag wegdividiere, dann bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} \frac1{3-2a_{n-1}}\leq q \end{eqnarray*}$ übrig.

Besser? smile

29.11.2015, 18:04

Jefferson1992

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wunderbar. Jetzt habe ich es nachvollzogen. Meine Güte was eine Rechnerei...
Man verlernt in der Uni echt das leichte Rechnen.. war ja echt nicht schwer..

Welcher Bruch. naja, eigentlich ist ja wie bereits bewiesen:

$\begin{eqnarray*} 1\leq a_n\leq 2 \end{eqnarray*}$

das heißt im Größten Fall ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-2} \end{eqnarray*}$ und das wäre 1.
das ist doch doof..

29.11.2015, 18:53

Matt Eagle

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Ich denke, dass es etwas kürzer gehen sollte:

Laut IV gilt: $\begin{eqnarray*} 1\leq a_n\leq 2. \end{eqnarray*}$

Also gilt auch:

$\begin{eqnarray*} 3\leq 2+a_n\leq 4~(1). \end{eqnarray*}$

Und außerdem:

$\begin{eqnarray*} 2\leq 1+a_n\leq 3~\Rightarrow~\frac 13\leq \frac 1{1+a_n}\leq \frac 12~ (2). \end{eqnarray*}$

Wendet man nun (1) und (2) auf

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1+\frac 1{1+a_n}=\frac{2+a_n}{1+a_n} \end{eqnarray*}$

an, dann folgt

$\begin{eqnarray*} 1\leq a_{n+1}\leq 2. \end{eqnarray*}$

29.11.2015, 22:27

kgV

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Zitat:

das ist doch doof..

Das liegt daran, dass ich plötzlich mit $\begin{eqnarray*} \frac1{3-2a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} \frac1{3+2a_{n-1}} \end{eqnarray*}$ gerechnet habe. Wenn du das überall ersetzt (so wie es hier noch war), dann kannst du $\begin{eqnarray*} q=\frac 15 \end{eqnarray*}$ wählen.

@Matt: Das beweist doch nur den ersten Teil der Aufgabe - und für den haben wir auch nicht viel mehr Zeilen gebraucht Augenzwinkern

29.11.2015, 23:03

Jefferson1992

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und wie kann ich da jetzt die eigentliche Behauptung mit zeigen? :P

29.11.2015, 23:12

kgV

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Jetzt haben wir $\begin{eqnarray*} q=\frac15 \end{eqnarray*}$ . Also gilt $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n|\leq q|a_n-a_{n-1}|\leq q\cdot q|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq\cdots\leq q^{n-1}|a_2-a_1| \end{eqnarray*}$

Und das war zu beweisen

29.11.2015, 23:14

Jefferson1992

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oh man. Das muss ich mir nochmal durch den Kopf gehen lassen.

Vielen Dank erstmal für die meisterliche Leistung smile

Gute Nacht!

29.11.2015, 23:17

kgV

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Gern geschehen smile

Und: für eine meisterliche Leistung habe ich definitiv einen oder zwei Vorzeichenfehler zu viel gemacht Big Laugh

30.11.2015, 10:04

Jefferson1992

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Haha

Du bist genial. Big Laugh

Ich bin mal gespannt, was mein Tutor zu dieser Lösung sagt. Ich werde dich auf dem Laufenden halten.D

30.11.2015, 17:15

HAL 9000

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Als "Späteinsteiger" im Thread nehme ich mal einen etwas anderen Blickwinkel ein:

Es ist $\begin{align*} a_{n+1} = f(a_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} f(x) := 1 + \frac{1}{1+x} \end{align*}$ mit einem Anfangswert $\begin{align*} a_1\in[1,2] \end{align*}$ .

Gezeigt werden soll eine Kontraktion, d.h. die Existenz eines $\begin{align*} q\in (0,1) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \left|a_{n+1}-a_n\right| \leq q\cdot \left|a_n-a_{n-1}\right| \end{align*}$ .

Gemäß Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist

$\begin{align*} \left|a_{n+1}-a_n\right| = \left|f(a_n)-f(a_{n-1})\right| = \left| f'(\xi_n) \right| \cdot \left|a_n-a_{n-1}\right| \end{align*}$

für ein $\begin{align*} \xi_n \end{align*}$ zwischen $\begin{align*} a_{n-1} \end{align*}$ und $\begin{align*} a_n \end{align*}$ , nach den vorherigen Rechnungen ist also auf jeden Fall $\begin{align*} \xi_n\in[1,2] \end{align*}$ . Nun kann man für $\begin{align*} \xi\in [1,2] \end{align*}$ aber sofort abschätzen

$\begin{align*} \left| f'(\xi) \right| = \frac{1}{(1+\xi)^2} \leq \frac{1}{4} \end{align*}$ ,

also kann man $\begin{align*} q=\frac{1}{4} \end{align*}$ wählen und ist fertig.

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