Rotationsvolumen exakt und näherungsweise

29.11.2015, 18:27

Rivago

Rotationsvolumen exakt und näherungsweise

Die Fläche zwischen dem Schaubild der Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \end{eqnarray*}$ rotiere auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} I = [0;4] \end{eqnarray*}$ um die x-Achse.

- Ermitteln Sie den exakten Rauminhalt des Drehkörpers
- Berechnen Sie den Rauminhalt näherungsweise mit Hilfe der Keplerschen Fassregel und mit Hilfe der Simpsonregel mit der Schrittweite 1.

Erstmal zu Punkt 1..

$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int \limits_a^b (f(x))^2 dx \end{eqnarray*}$

In meinem Fall $\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int \limits_0^4 \left( \frac{1}{\sqrt{x + 1}} \right)^2 dx = \pi \cdot \int \limits_0^4 \frac{1}{x + 1} dx = \pi \cdot \left[ ln(|x + 1|) \right]_0^4 = \pi \cdot ln(5) \end{eqnarray*}$

Zunächst mal: Stimmt das?

Habe diesmal weder Lösungsschritt noch Endlösung..

Edit:

Mit Kepler erhalte ich $\begin{eqnarray*} V \approx 2,50 \ VE \end{eqnarray*}$

Und mit Simpson sind es $\begin{eqnarray*} V \approx 2,48 \ VE \end{eqnarray*}$

Jeweils ungefähr die Hälfte vom exakten Wert verwirrt

Ist also der exakte Wert falsch?

29.11.2015, 19:45

sixty-four

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rotationsvolumen exakt und näherungsweise
Ich bekomme mit Kepler ein Ergebnis von 5,306.

Dein exaktes Ergebnis, das ich für richtig halte wäre etwa 5,056

Hast du vielleicht für Simpson und Kepler die Funktionswerte von f(x) und nicht $\begin{eqnarray*} \left[f(x)\right]^2 \end{eqnarray*}$ benutzt?

29.11.2015, 19:53

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt bemerkt, dass ich die Formel für die Fläche verwendet habe Hammer

Hab jetzt eine Formel für das Volumen im Internet gefunden (im Skript steht sie nämlich nirgends), siehe Bild.

Was ist dann jetzt mein h und was bedeutet q?

29.11.2015, 20:00

sixty-four

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rivago

Was ist dann jetzt mein h und was bedeutet q?

h ist deine die Länge des Integrationsintervalls und q deine Funktion. Allerdings berechnest du damit ja nur Flächen. Folglich ist q das Quadrat von f(x).

Ah, ich sehe gerade, dass du $\begin{eqnarray*} \frac{h}{6} \end{eqnarray*}$ schreibst. Nach meinem Kepler muss es $\begin{eqnarray*} \frac{h}{3} \end{eqnarray*}$ heißen.

29.11.2015, 20:56

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mal bitte deine Formel aufschreiben? smile

Edit: Mit $\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{6}(b - a) \cdot \left( (f(a))^2 + 4 \cdot \left( f\left( \frac{a + b}{2} \right) \right)^2 + \left( f(b) \right)^2\right) \end{eqnarray*}$ bin ich jetzt auch auf 5,306 VE gekommen smile

Trotzdem würde mich mal deine Formel interessieren.

Hast du auch eine Formel für die Simpson-Regel für das Volumen?

29.11.2015, 22:10

sixty-four

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rivago

Trotzdem würde mich mal deine Formel interessieren.

Hast du auch eine Formel für die Simpson-Regel für das Volumen?

Ich habe für Kepler:

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_0+2h} f(x) \; dx \approx \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_0+h) + f(x_0+2h)] \end{eqnarray*}$

Die arbeitet mit 3 äquidistanten Stützstellen. Die Simpsonregel erhält du, wenn du eine ungerade Anzahl von Stützstellen hast und für 2 aufeinanderfolgende Teilintervalle die Keplersche Regel anwendest. Das Ergebnis ist dann die Summe aus den Einzelergebnissen, also

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} f(x) \; dx \approx \frac{h}{3}[y_0 + 4y_1 + 2y_2+ 4y_3+ \cdots + 2y_{2k-2} + 4y_{2k-1}+y_{2k}] \end{eqnarray*}$

Für das Volumen hast du damit auch bereits eine Formel, wenn du an Stelle von f(x) einsetzt: $\begin{eqnarray*} \pi[f(x)]^2 \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Rotationsvolumen exakt und näherungsweise

Verwandte Themen