Struktur induktiver Mengen

29.11.2015, 19:54

Student25

Struktur induktiver Mengen

Meine Frage:
Hallo,
ich brauche dringend Hilfe bei meiner Uni Aufgabe. Habe schon alles gelöst, aber komme hier einfach nicht weiter.

Sei E eine Menge mit induktiver Struktur, wobei e* $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E das ausgezeichnete Element ist und zu e $\begin{eqnarray*} \in E \end{eqnarray*}$ der Nachfolger mit e' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ E bezeichnet sei.

a) Geben Sie eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ E an, die die induktiven Strukturen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und E respektiert, d.h. dass zu n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ das Bild f(n+1) von n+1 der Nachfolger von f(n) in E ist und surjektiv ist.

b) Beweisen Sie die Surjektivität von f durch vollständige Induktion.

Meine Ideen:
Meine Idee war die Abbildung so anzugeben:

f: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow E \end{eqnarray*}$ , n $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ k+1

Und wie die vollständige Induktion funktioniert ist mir klar, aber ich weiß nicht wie man die Surjektivität damit beweisen kann.

Bitte um Hilfe!

29.11.2015, 21:09

10001000Nick1

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RE: Struktur induktiver Mengen
Willkommen

im Matheboard!

Zitat:

Original von Student25

Meine Idee war die Abbildung so anzugeben:

f: $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow E \end{eqnarray*}$ , n $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ k+1

Was soll denn das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein?

Und wichtig wäre noch zu wissen, ob bei dir $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist oder nicht.

29.11.2015, 21:21

Student25

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RE: Struktur induktiver Mengen
Das k habe ich als Umschreibung von n genommen.

Ob 0 mit drin ist ist ja so nicht definiert, aber in der Uni hat N bei uns mit 0 angefangen. Sie sagen aber es sei nicht so wichtig

29.11.2015, 22:07

10001000Nick1

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RE: Struktur induktiver Mengen

Zitat:

Original von Student25
Das k habe ich als Umschreibung von n genommen.

Und was genau umschreibst du damit? verwirrt

Zitat:

Original von Student25
Ob 0 mit drin ist ist ja so nicht definiert, aber in der Uni hat N bei uns mit 0 angefangen. Sie sagen aber es sei nicht so wichtig

Es kommt eine etwas andere Lösung raus; aber prinzipiell ist der Lösungsweg derselbe.

29.11.2015, 22:41

Student25

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RE: Struktur induktiver Mengen
Das hab ich nur benutzt damit da nicht zwei mal n steht. Haben wir so in anderen Aufgaben gemacht aber kommt aufs selbe raus wie n.

Ja der Lösungsweg ist das wichtigste. Aber ich würde bei 0 anfangen

29.11.2015, 22:58

10001000Nick1

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RE: Struktur induktiver Mengen

Zitat:

Original von Student25
Haben wir so in anderen Aufgaben gemacht

Das bezweifle ich. Wenn man zweimal $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ meint, wieso sollte man dann nicht auch zweimal $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schreiben? Bei deinem Aufschrieb ist doch überhaupt nicht klar, was $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein soll.

Zitat:

Original von Student25
Aber ich würde bei 0 anfangen

Gut, dann machen wir das so.

Dein Vorschlag für die Abbildung war also $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to E, n\mapsto n+1 \end{eqnarray*}$ . Das kann aber nicht funktionieren: Wenn $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist, ist auch $\begin{eqnarray*} f(n)=n+1\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Der Wertebereich der Funktion ist doch aber $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , weswegen eigentlich $\begin{eqnarray*} f(n)\in E \end{eqnarray*}$ sein muss.

Könntest du vielleicht nochmal eure Definition von induktiver Struktur posten? Ich glaube, ich habe da gerade was falsches im Kopf (jedenfalls dürfte damit die Aufgabe nicht viel Sinn machen. verwirrt

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