Konvergenz einer Reihe

30.11.2015, 15:25

PracX

Konvergenz einer Reihe

Hallo zusammen,

ich bräuchte da mal euren kompetenten Rat.
Ich muss die Konvergenz folgender Reihe zeigen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{n=1}^{\infty} (x+\frac{1}{n})^n<br /> \end{eqnarray*}$

Es gilt weiter: $\begin{eqnarray*} |x| < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < \epsilon < 1 - |x| \end{eqnarray*}$

Als erstes sprang mir der binomische Lehrsatz ins Auge.
Angewandt auf die Reihe würde die Umformung ja folgendes liefern:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0 }^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}*\frac{1}{n}^k \end{eqnarray*}$
Ich kann mir aber grade nicht vorstellen, wie mir das weiterhelfen sollte.

Der "Trick" müsste ja sein eine passende, konvergierende Majorante zu finden.
Ich tue mich allerdings schwer den Beginn einer passenden Umformung zu finden.

Vielleicht habt ihr einen dezenten Hinweis wie ich passend ansetzen könnte smile

30.11.2015, 15:33

10001000Nick1

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im Matheboard!

Probier's mal mit dem Wurzelkriterium.

Was hat eigentlich das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ da zu suchen?

30.11.2015, 15:36

PracX

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Danke für die rasche Antwort!

Das Wurzelkriterium haben wir bisher leider nicht behandelt.
Wir hatten lediglich das Quotienten-, Minoranten- und Majorantenkriterium, das weiterhelfen könnte.

Das Epsilon steht als Hinweis unter der Aufgabenstellung. Ganz schlau bin ich da auch noch nicht draus geworden...

30.11.2015, 15:54

10001000Nick1

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Gut, dann eben mit dem Majorantenkriterium: Versuch mal, deine Reihe nach oben durch eine geometrische Reihe abzuschätzen.

Das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kommt doch aber bestimmt noch in einem anderen Aufgabenteil vor, oder?

30.11.2015, 17:36

PracX

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So peinlich das auch ist, aber ich komme mit der Aufgabe einfach nicht zurecht.

Die geometrische Reihe wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich ja, laut Majorantenkriterium und im Optimalfall, aus der gegebenen Reihe eine andere, offensichtlich größere Reihe kreieren, die konvergiert.
|x| soll ja kleiner 1 sein. Könnten wir nun zum Beispiel sagen, dass |x|=0 und damit die Majorante:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ sei?

Oder bin ich da zu voreilig?

30.11.2015, 17:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von PracX
So peinlich das auch ist, aber ich komme mit der Aufgabe einfach nicht zurecht.

Die geometrische Reihe wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Unsinn. Der Index $\begin{align*} n \end{align*}$ hat da nichts zu suchen. unglücklich

------------------------

Betrachten wir erstmal nur positive $\begin{align*} x \end{align*}$ , um die Dinge nicht unnötig zu verkomplizieren, um $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ kümmern wir uns später:

Um die vorliegende Reihe durch eine geometrische Reihe nach oben abschätzen zu können, suchen wir einen von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängigen (!) Wert $\begin{align*} q<1 \end{align*}$ , so dass $\begin{align*} x+\frac{1}{n}\leq q \end{align*}$ gilt, zumindest ab einem gewissen Index $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ !!!

Zu diesem Zweck, kann man ein beliebiges $\begin{align*} q \end{align*}$ mit $\begin{align*} x<q<1 \end{align*}$ wählen, z.B. den Mittelpunkt $\begin{align*} q:=\frac{1+x}{2} \end{align*}$ dieses Intervalls $\begin{align*} [x,1] \end{align*}$ . Dann gilt

$\begin{align*} x+\frac{1}{n}\leq \frac{1+x}{2} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\leq \frac{2}{1-x} \end{align*}$ . D.h., mit Festlegung des Anfangsindex $\begin{align*} n_0:= \left\lceil \frac{2}{1-x} \right\rceil \end{align*}$ haben wir

$\begin{align*} \left( x+\frac{1}{n} \right)^n \leq q^n \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ .

Kommst du damit weiter?

30.11.2015, 17:59

10001000Nick1

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Peinlich ist das nicht. Dazu sind wir ja hier. smile

Zitat:

Original von PracX
|x| soll ja kleiner 1 sein. Könnten wir nun zum Beispiel sagen, dass |x|=0 und damit die Majorante:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ sei?

Nein, so einfach geht das nicht. Du musst dir nicht den Wert der geometrischen Reihe anschauen, sondern die einzelnen Folgenglieder, die du aufsummierst; im Majorantenkriterium geht es doch auch um die Folgenglieder.

Du suchst eine Folge $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty c_n \end{eqnarray*}$ konvergiert und ab irgendeinem Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ (d.h. für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ ) gilt: $\begin{eqnarray*} \left|\left(x+\frac 1n\right)^n\right|\leq c_n \end{eqnarray*}$ .

Den Term $\begin{eqnarray*} \left|\left(x+\frac 1n\right)^n\right| \end{eqnarray*}$ schätzen wir jetzt nach oben ab, um eine solche Folge $\begin{eqnarray*} (c_n) \end{eqnarray*}$ zu finden:
$\begin{eqnarray*} \left|\left(x+\frac 1n\right)^n\right|=\left|x+\frac 1n\right|^n\leq \left(|x|+\frac 1n\right)^n \end{eqnarray*}$

Siehst du jetzt eine Möglichkeit, ein geeignetes $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ zu finden, sodass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty q^n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Majorante ist? (Schau dir mal den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} |x|+\frac 1n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ an.)
(OK, die Frage hat sich gerade erübrigt, die Antwort steht schon in HALs Beitrag... Wie war das doch gleich mit "Viele Köche verderben den Brei"?)

30.11.2015, 18:18

HAL 9000

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Entschuldigung - bin wieder raus (kann aber nicht erkennen, dass irgendein Brei verdorben ist).

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