Berechnung von reellen Grenzwerten

30.11.2015, 18:03	Thales1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung von reellen Grenzwerten Meine Frage: Hi. Habe bei folgender Aufgabe so meine Probleme. Ich weiß leider nicht wie man den Grenzwert generell berechnet. Zudem sind keine normalen Zahlen gegeben, sondern nur Variablen. Hoffe mir kann jemand erklären wie man an diese Aufgabe rangeht. Meine Ideen: Für n zahlen einsetzen und schauen wie sich die Funktion verhält.
30.11.2015, 19:20	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Streng nach Tipp vorgehen: Gemäß Binomischen Satz ist $\begin{align} (1+h_n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} h_n^k \end{align}$ . Da hier bei dir $\begin{align} h_n\geq 0 \end{align}$ ist, kannst du die Summe rechts nach unten abschätzen, indem du Summanden aus der Summe einfach weglässt. So kann man z.B. im Fall $\begin{align} n\geq 3 \end{align}$ alle Summanden außer $\begin{align} k=0 \end{align}$ und $\begin{align} k=3 \end{align}$ weglassen und erhält $\begin{align} n = (1+h_n)^n \geq 1+\binom{n}{3} h_n^3 = 1+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}h_n^3 \end{align}$ , umgestellt zu $\begin{align} h_n \leq \sqrt[3]{\frac{6}{n(n-2)}} \end{align}$ . Warum gerade $\begin{align} k=3 \end{align}$ ? Weil für $\begin{align} k=1 \end{align}$ und $\begin{align} k=2 \end{align}$ der beabsichtigte Effekt noch nicht eintritt.

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