Trigonometrische Fourierreihe und Konvergenz

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Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Fourierreihe und Konvergenz
Hallo,

ich möchte folgendes Beispiel lösen, stehe aber aktuell an.

A) Bestimmen Sie die trigonometrischeFourierreihe der ungeraden periadischen Funktion mit für . Schreiben Sie die Reihe in der Form .

Mein Ergebnis für diesen Punkt ist .
Der Plot für dieses Ergebnis sieht auch gut aus, bis auf einen fehlenden Faktor ...

Nun kommen wir zu dem Punkt bei dem ich icht mehr weiter weiß:
B) Berechnen Sie mit Hilfe dieses Ergebnisses aus A) den Wert der konvergenten Reihe .

Also meine Frage: stimmt mein Ergebnis bei Punkt A?
Was könnte ich denn als Ansatz für Punkt 2 nehmen? Potenzreihen?

Liebe Grüße
Zutroll
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wie soll denn definiert sein, wenn ?

Zitat:
Mein Ergebnis für diesen Punkt ist .


Das kann schlecht sein, hängt es doch garnicht von ab. Falls trivial fortgesetzt werden soll, fehlt da nicht nur ein Sinusterm, sondern der Faktor 2 ist zuviel und es fehlt ein konstanter Term. Ich nehme daher an, dass das nicht gemeint ist.

Um B) will ich mir erst Gedanken machen, wenn die Aufgabenstellung klar ist.
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Zitat:
ungeraden periadischen Funktion

Die Fourierreihe sieht trotzdem nicht besser aus Big Laugh
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke dir. Das habe ich irgendwie überlesen.

Deine Fourierreihe passt dann abgesehen davon, dass der Sinusterm fehlt und du ständig mit verwechselst. Ich würde außerdem mal schauen, wie sich die Summanden vereinfachen, wenn gerade/ungerade ist. Damit bekommst du gleich eine viel schönere Reihe heraus.

Für die den B) Teil musst du einen speziellen Wert einsetzen, so dass die Reihe so ähnlich aussieht wie jene, deren Wert du berechnen musst. (Natürlich braucht man dann noch den Satz von Dirichlet.)

Um ehrlich zu sein komme ich damit aber selbst nur auf einen Wert für die Reihe . Wenn das kein Tippfehler ist, bin ich gerade überfragt.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Also bei der Funktion handelt es sich um eine periodische Rechtecksfunktion, und der plott meiner Fourierreihe sieht auch sehr gut aus.

Ja bei meinem Resultat habe ich wohl etwas gehudelt, es müsste heißen:
.
Der Term wird für gerades zu und für ungerades zu
Also kann ich die Reihe umschreiben zu:

[kleine Frage am Rande: ist hier der Indexwechsel überhaupt notwendig oder düfte ich auf beiden Seiten der Gleichung mit arbeiten?]

Bei Punkt B) habe ich keinen Tippfehler (die habe ich schon bei Punkt A) verbraucht Big Laugh ). Laut Wolfram Alpha sollte die Reihe gegen den Wert konvergieren.

Der Satz von Dirichlet besagt, das meine unstetige Funktion gegen konvergiert und da die Funktion ungerade ist können wir das zu zusammenfassen.

Heißt das jetzt, dass gilt?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst den Index nicht anders nennen, solltest aber drauf achten, dass auch im Argument des Sinus etwas anderes stehen muss, nachdem du den Index wechselst. Außerdem fehlt da dann noch ein Faktor 2. Ansonsten ist es richtig. Ich bin aber wie gesagt etwas überfragt, wie man jetzt auf den Reihenwert kommen soll.

Vielleicht hat sonst noch jemand eine Idee. Ich wäre jedenfalls sehr interessiert an der Lösung und würde mich freuen, wenn du sie mitteilen kannst, wenn ihr sie besprochen habt.

Ich würde überdies den Satz von Dirichlet noch nicht so früh anwenden, sondern erst, wenn du dann tatsächlich einen konkreten Wert einsetzt.
 
 
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Also für diese Umformung habe ich ja erstaunlich lange gebraucht und bin in jedes nur erdenkliche Fettnäpfchen getretten, aber jetzt:

Guppi12 dürfte ich Dich bitten auszuführen was ich hier mit dem Satz von Dirichlet hier mache.
Du hast eine Lösung von erwähnt, ist diese irgendwo dokumentiert, würde mir gerne ansehen aus was Du hinaus willst.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde B mit der Parsevalschen Gleichung angehen.
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo URL,

na das sieht ja mal Hilfreich aus, DANKE für den Tipp. Werde ich gleich mal probieren ob ich damit weiter komme!
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Ich würde B mit der Parsevalschen Gleichung angehen.


Super Idee! Freude
Kaffeevernichter Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich probiers mal:
Ich versuche den Wert der Reihe
(Hatte bei der Angabe von Pubkt B) einen zweier zu viel...)
Wir haben schin festgestellt, dass die Trigonometrische Fourierreihe der gegeben Funktion lautet

es gilt also:

Einsetzten dieses Wertes in die Parsevalsche ungleichung liefert:

Das Integral liefert den Wert zwei und umformen ergibt:

Somit stimmt mein Ergebnis mit dem Ergebnis von Wolfram Aloha überein - Heureka smile
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